Fundamentos de Álgebra: Ecuaciones Lineales, Progresiones Aritméticas y Geométricas

Número de Soluciones de un Sistema de Ecuaciones Lineales

• a) Rectas Secantes (X): Sistema Compatible Determinado [Solución única]
• b) Rectas Coincidentes (/): Sistema Compatible Indeterminado [Infinitas soluciones]
• c) Rectas Paralelas (//): Sistema Incompatible [No tiene soluciones]

Métodos de Resolución de Sistemas

Método de Sustitución

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

   Ejemplo:

   x - y = 3 → x = 3 + y

   2x - 3y = 4

2. Sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación.

   Ejemplo:

   2x - 3y = 4 (sustituyendo x = 3 + y) → 2(3 + y) - 3y = 4

3. Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

   Ejemplo:

   2(3 + y) - 3y = 4 → 6 + 2y - 3y = 4 → -y = 4 - 6 → -y = -2 → y = 2

4. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.

   Ejemplo:

   x - y = 3 (sustituyendo y = 2) → x - 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5

5. Comprobamos que la solución obtenida es la solución del sistema.

Método de Igualación

1. Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones.

   Ejemplo:

   x - y = 3 → x = 3 + y

   2x - 3y = 4 → x = (4 + 3y) / 2

2. Igualamos las expresiones obtenidas.

   Ejemplo:

   3 + y = (4 + 3y) / 2

3. Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

   Ejemplo:

   3 + y = (4 + 3y) / 2 → 2(3 + y) = 4 + 3y → 6 + 2y = 4 + 3y → 6 - 4 = 3y - 2y → 2 = y → y = 2

4. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.

   Ejemplo:

   x - y = 3 (sustituyendo y = 2) → x - 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5

5. Comprobamos que la solución obtenida es la solución del sistema.

Método de Reducción

1. Igualamos los coeficientes de una de las incógnitas mediante multiplicaciones apropiadas.

   Ejemplo:

   Multiplicar la primera ecuación por 2:

   (x - y = 3) · 2 → 2x - 2y = 6

   2x - 3y = 4

2. Restamos o sumamos las ecuaciones, según los coeficientes tengan igual o distinto signo, para eliminar una incógnita.

   Ejemplo:

   (2x - 2y = 6) - (2x - 3y = 4) → y = 2

3. Resolvemos la ecuación de una incógnita que resulta.

   Ejemplo:

   y = 2

4. Calculamos el valor de la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.

   Ejemplo:

   x - y = 3 (sustituyendo y = 2) → x - 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5

5. Comprobamos que la solución obtenida es la solución del sistema.

Representación Gráfica de Sistemas de Ecuaciones

Para representar gráficamente un sistema de ecuaciones, se toman ambas ecuaciones y se despeja la variable y. Luego, se le asignan valores a x (por ejemplo, -1, 0, 1) para obtener los puntos correspondientes y graficarlos en un plano cartesiano.

En el plano cartesiano, el eje vertical representa y (positivo hacia arriba, negativo hacia abajo) y el eje horizontal representa x (positivo a la derecha, negativo a la izquierda). Una vez graficadas las rectas, se identifica el tipo de solución:

• Solución: Rectas Secantes (si se cruzan en un punto), Rectas Coincidentes (si son la misma línea), o Rectas Paralelas (si no se cruzan).

Fórmulas de las Progresiones Aritméticas

• Término general (a_n): an = a1 + (n - 1) · d
• Suma de los n primeros términos (S_n): Sn = (a1 + an) / 2 · n

Fórmulas de las Progresiones Geométricas

• Término general (a_n): an = a1 · rn-1
• Suma de los n primeros términos (S_n): Sn = (an · r - a1) / (r - 1)
• Suma de infinitos términos (S_∞), si |r| < 1: S∞ = a1 / (1 - r)
• Producto de los n primeros términos (P_n): Pn = √(a1 · an)n

Fórmula de la Ecuación de Segundo Grado

Para una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, las soluciones (raíces) se calculan con la siguiente fórmula:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)