Fundamentos de Álgebra: Ecuaciones, Conceptos Clave y Métodos de Resolución

Conceptos Fundamentales de Álgebra

¿Qué es una igualdad?

Expresión aritmética en la que dos cantidades tienen el mismo valor.

¿Qué es un término?

Componente fundamental de una expresión algebraica, que está compuesta por un signo, un coeficiente, una parte literal y un exponente. Ejemplos: 5x, -2y², 7.

¿Qué es una potencia?

Es la multiplicación de un número por sí mismo repetidas veces. El número que vamos a multiplicar se llama base; la cantidad de veces que lo vamos a multiplicar por sí mismo la define el número que se llama exponente o potencia.

¿Qué es un miembro?

Toda ecuación consta de dos miembros, los cuales se encuentran a ambos lados del signo igual (=). El de la izquierda se denomina Primer Miembro y el de la derecha, Segundo Miembro. Ejemplo: {3x² + 2x} = (8x + 1).

¿Qué es una identidad?

Igualdad que se verifica para cualquier valor que intervienen en ella. Ejemplo: (a+b)² = a² + 2ab + b².

¿Partes de una raíz?

n√. Donde n es el Índice del radical y dentro se ubica la expresión llamada subradical. Ejemplo: 4√64.

¿Qué es una ecuación?

Es una igualdad en la que intervienen expresiones algebraicas. Ejemplo: 3x² + 2x = 8x + 1.

¿Cuál es el axioma fundamental de las ecuaciones?

"Si a ambos miembros de una ecuación se les realiza la misma operación, la igualdad prevalece."

¿En qué consiste el principio de transitividad?

"Dos expresiones iguales a una tercera son iguales entre sí." Es decir, si a = b y b = c, entonces a = c.

¿Qué es el método de Cramer?

Es un método algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. No es necesario utilizar técnicas algebraicas como despejes o sustituciones, pero sí es indispensable recordar las fórmulas y evaluar los determinantes.

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones 2x2

Los 5 métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones de 2x2 son:

• Método de Sustitución
• Método de Igualación
• Método de Eliminación (o Reducción)
• Método de Determinantes (o Cramer)
• Método Gráfico

Método de Cramer o Determinantes

Pasos del Método de Cramer:

1. Identificar los coeficientes A, B, C, D, E y F, y calcular el determinante del sistema (∆).
2. Aplicar la fórmula para encontrar X.
3. Aplicar la fórmula para encontrar Y.
4. Comprobar la solución.

Forma general de un sistema 2x2:

Ax + By = C (I)

Dx + Ey = F (II)

Método de Igualación

Pasos del Método de Igualación:

1. Despejar una variable de una de las ecuaciones (siempre se debe elegir la variable más sencilla para despejar).
2. Despejar la misma variable de la otra ecuación.
3. Utilizando el principio de transitividad, e igualar los despejes anteriores.
4. Resolver la ecuación de primer grado con una incógnita que resulta.
5. Sustituir el resultado anterior en cualquiera de los despejes del paso 1 o 2.
6. Comprobar los resultados de las variables en el sistema original.

Método Gráfico

Pasos del Método Gráfico:

1. Despejar y de la Ecuación 1 (generalmente se despeja y).
2. Crear una tabla con valores para x, el despeje de y, el valor calculado de y y sus respectivas coordenadas (x, y).
3. Asignar dos valores arbitrarios a la variable x para calcular los valores de y y obtener dos puntos.
4. Localizar los puntos obtenidos en el plano cartesiano y unirlos mediante una recta (representando la Ecuación 1).
5. Despejar y de la Ecuación 2.
6. Repetir el paso 2 para la Ecuación 2.
7. Asignar valores a la variable x para obtener dos nuevos puntos.
8. Localizar estos puntos en el plano cartesiano y unirlos mediante una recta (representando la Ecuación 2).
9. Localizar las coordenadas del punto en que las rectas se cruzan; a este punto lo llamaremos P (punto de intersección). La solución del sistema está dada por las coordenadas (x, y) de este punto de intersección.
10. Comprobar la solución.

Jerarquía de Operaciones

1. Paréntesis, corchetes, llaves y barras.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones.
4. Sumas y restas.

Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Ejemplo:

3(2x+4)-5 = 2(4x-1)+3

6x + 12 - 5 = 8x - 2 + 3

6x - 8x = -2 + 3 - 12 + 5

-2x = -6

x = -6 / -2

X = 3

Ecuaciones Fraccionarias

Ejemplo:

(5x + 7) / 3 = (x + 2) / 6

6(5x + 7) = 3(x + 2) (Multiplicando ambos lados por el MCM de los denominadores, que es 6)

30x + 42 = 3x + 6

30x - 3x = 6 - 42

27x = -36

x = -36 / 27

X = -4/3 (Simplificando la fracción)

Productos Notables

Binomios al Cuadrado

Fórmula: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Binomios al Cubo

Fórmula: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³