Fundamentos del Álgebra de Conmutación y Circuitos Digitales

Afirmaciones Clave sobre Álgebra de Conmutación y Lógica

• La inducción finita es un método de dos pasos que permite demostrar teoremas del álgebra de conmutación.
• En la lógica negativa, el nivel de voltaje más negativo (bajo) se considera el 1 lógico.
• Claude Shannon sentó las bases de las técnicas formales de análisis para circuitos digitales.
• En el álgebra de la conmutación, se usan variables simbólicas para representar la condición de una señal lógica.

Axiomas, Teoremas y Operaciones en Álgebra de Conmutación

• Los axiomas de un sistema matemático son un conjunto mínimo de definiciones básicas que suponemos verdaderas.
• La multiplicación lógica tiene precedencia sobre la suma lógica.
• Los teoremas del álgebra de conmutación son enunciados que son siempre verdaderos, lo que permite manipular expresiones algebraicas.
• Claude Shannon adaptó el álgebra de Boole para analizar y describir el comportamiento de los circuitos con relevadores.

Tablas de Verdad: Características y Funciones

• La tabla de verdad de una función de 4 variables puede tener:
  • 16 combinaciones de entrada diferentes.
  • 65536 posibles funciones diferentes.
• Para las tablas de verdad es cierto que:
  • Listan las salidas del circuito para cada posible combinación de entradas, similar a la filosofía de la inducción perfecta.
  • Son la representación más básica de una función lógica.

Teoremas Fundamentales del Álgebra de Conmutación

• X + 0 = X
• X + X = X
• X(X + Y) = X
• X + X’ = 1

Definiciones Esenciales en Álgebra Booleana

• Un término suma es un solo literal o una suma lógica de dos o más literales.
• Un término normal es un producto o término suma en el que ninguna variable aparece más de una vez.

Representación Canónica de Funciones Lógicas

• Cualquier función lógica puede escribirse como una suma canónica.
• La suma canónica de una función lógica es la suma de los mintérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida de 1.

Objetivos del Análisis de Circuitos Combinacionales

• Manipular su descripción algebraica para sugerir diferentes estructuras de circuito para la función lógica.
• Determinar el comportamiento del circuito para varias combinaciones de entrada.
• Usar una descripción algebraica del comportamiento funcional del circuito en el análisis de un sistema mayor que incluye el circuito.
• Obtener una descripción formal de su función lógica.
• Transformar la expresión algebraica en la forma estándar que corresponde con una estructura de circuito disponible.

Métodos de Análisis de Circuitos Combinacionales

• Método algebraico: Se construye una expresión lógica con los paréntesis correspondientes a los operadores lógicos y estructura del circuito. Se comienza con las entradas y se propagan las expresiones por las compuertas hacia la salida hasta obtener una expresión algebraica.
• Método exhaustivo: Se aplican todas las combinaciones posibles a las entradas del circuito, se propagan las señales por las compuertas hasta su salida, y de esta manera se construye su tabla de verdad.

Axiomas Clave del Álgebra de Conmutación

• Si X = 0, entonces X’ = 1.
• 0 + 1 = 1.

Teoremas Adicionales del Álgebra de Conmutación

• X + XY = X
• (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
• X + Y = Y + X
• (XY)Z = Y(XZ)

Representación de Funciones Lógicas y Mintérminos

• Existen 5 formas diferentes de representar una función lógica.
• Un mintérmino es un término producto que es 1 exactamente en una línea de la tabla de verdad.