Fundamentos de Álgebra: Conceptos Clave y Operaciones Matemáticas

¿Qué es el Álgebra?

El Álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que se encarga del estudio de la combinación de elementos de estructuras abstractas, utilizando letras y símbolos para representar números y cantidades.

Padre de las Matemáticas

El padre de las matemáticas es Al-Juarismi (Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi), un matemático, astrónomo y geógrafo persa del siglo IX, cuyas obras fueron fundamentales para el desarrollo del álgebra y los algoritmos.

Clasificación de los Números

Los números se clasifican en diferentes conjuntos, cada uno con propiedades específicas:

• Números Imaginarios: Son aquellos que resultan de la raíz cuadrada de un número negativo. Se representan con la unidad imaginaria i (donde i = √-1). Ejemplos: √-x, √-a, √-l.
• Números Reales (ℝ): Comprenden todos los números racionales e irracionales.
  • Números Racionales (ℚ): Pueden expresarse como una fracción de dos números enteros (a/b, donde b ≠ 0). Incluyen:
    • Números Fraccionarios: Como 1/2, 3/4.
    • Números Enteros (ℤ): Incluyen los números naturales, sus opuestos negativos y el cero.
      • Números Positivos: (1, 2, 3, ...)
      • Números Negativos: (-1, -2, -3, ...)
      • Cero: (0)
  • Números Irracionales (𝕀): No pueden expresarse como una fracción simple y tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Ejemplos: π (Pi), √2.

Términos Algebraicos y Expresiones

¿Qué es un Término Semejante?

Dos o más términos algebraicos son semejantes cuando tienen la misma parte literal (las mismas variables elevadas a los mismos exponentes), independientemente de su coeficiente numérico.

Estructura de un Término Algebraico (Monomio)

Un término algebraico, también conocido como monomio, se compone de las siguientes partes:

Por ejemplo, en el término 5x²:

• 5 es el Coeficiente.
• x es la Variable o Base.
• 2 es el Exponente.

¿Qué es una Expresión Algebraica?

Una expresión algebraica es una combinación de números (constantes), variables (letras) y operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación). Representan una cantidad o una relación matemática.

Ejemplo de Simplificación de Expresiones Algebraicas

Para simplificar una expresión algebraica, se agrupan y operan los términos semejantes:

-7x + 5y - 4z + 2x - 3y - 5z

Paso 1: Agrupar términos semejantes.

(-7x + 2x) + (5y - 3y) + (-4z - 5z)

Paso 2: Realizar las operaciones dentro de cada grupo.

(-7 + 2)x + (5 - 3)y + (-4 - 5)z
-5x + 2y + (-9)z

Paso 3: Simplificar la expresión final.

-5x + 2y - 9z

Leyes de los Signos

Las leyes de los signos son fundamentales para realizar operaciones con números enteros y expresiones algebraicas:

Multiplicación y División

Cuando se multiplican o dividen dos números:

• Signos iguales dan resultado positivo:
  • (+) × (+) = +
  • (-) × (-) = +
  • (+) / (+) = +
  • (-) / (-) = +
• Signos diferentes dan resultado negativo:
  • (+) × (-) = -
  • (-) × (+) = -
  • (+) / (-) = -
  • (-) / (+) = -

Suma y Resta

Cuando se suman o restan dos números:

• Signos iguales: Se suman los valores absolutos y se mantiene el signo.
  • (+) + (+) = Se suman y el resultado es positivo.
  • (-) + (-) = Se suman y el resultado es negativo.
• Signos diferentes: Se restan los valores absolutos y se coloca el signo del número con mayor valor absoluto.
  • (+) + (-) = Se restan y se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto.
  • (-) + (+) = Se restan y se mantiene el signo del número con mayor valor absoluto.

Operaciones con Polinomios

¿Qué es un Polinomio?

Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por la suma finita de términos algebraicos (monomios), donde cada término tiene variables elevadas a exponentes enteros no negativos.

Suma de Polinomios: Ejemplo

Para sumar polinomios, se agrupan y suman los términos semejantes:

(5x - 4) + (3 + 4x)

Paso 1: Eliminar paréntesis y reordenar.

5x - 4 + 3 + 4x

Paso 2: Agrupar términos semejantes.

(5x + 4x) + (-4 + 3)

Paso 3: Realizar las operaciones.

(9)x + (-1)
9x - 1

Resta de Polinomios: Ejemplo

Para restar polinomios, se cambia el signo de cada término del polinomio que se resta y luego se agrupan y suman los términos semejantes:

(6x³ + 5x + 7) - (4x⁴ + 6x² + 5x - 5)

Paso 1: Eliminar paréntesis, cambiando los signos del segundo polinomio.

6x³ + 5x + 7 - 4x⁴ - 6x² - 5x + 5

Paso 2: Agrupar términos semejantes y ordenar de mayor a menor exponente.

-4x⁴ + 6x³ - 6x² + (5x - 5x) + (7 + 5)

Paso 3: Realizar las operaciones.

-4x⁴ + 6x³ - 6x² + 0x + 12

Resultado final:

-4x⁴ + 6x³ - 6x² + 12

Teorema Fundamental de la Aritmética

El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo número compuesto tiene una factorización única en números primos, salvo por el orden de los factores.

Factorización de Números

La factorización de un número consiste en expresarlo como un producto de sus factores primos.

Ejemplo: Factorización de 8

8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 |

Factorización de 8: 2 × 2 × 2 = 2³ = 8

Máximo Común Divisor (MCD)

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente.

Ejemplo: MCD de 48, 36 y 24

48  36  24 | 2  (Todos son divisibles por 2)
24  18  12 | 2  (Todos son divisibles por 2)
12   9   6 | 3  (Todos son divisibles por 3)
 4   3   2 |    (No hay más divisores comunes)

MCD: 2 × 2 × 3 = 2² × 3 = 12

Cálculo del Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos.

Para calcular el MCM, se realiza la factorización prima de cada número y se toman los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplo de Factorización Prima para MCM (o individual)

Aunque el ejemplo original muestra factorizaciones individuales, estas son la base para calcular el MCM de un conjunto de números.

Factorización de 382:

382 | 2
191 | 191 (191 es un número primo)
  1 |

382 = 2 × 191

Factorización de 428:

428 | 2
214 | 2
107 | 107 (107 es un número primo)
  1 |

428 = 2² × 107

Factorización de 324:

324 | 2
162 | 2
 81 | 3
 27 | 3
  9 | 3
  3 | 3
  1 |

324 = 2² × 3⁴