Fundamentos de Álgebra: Conceptos Clave y Ejercicios Resueltos

Conceptos Fundamentales de Álgebra

El álgebra es el conjunto de operaciones que se realizan con signos, números y letras.

Elementos de una Expresión Algebraica

• Un término es cada uno de los elementos de una expresión algebraica que están separados por un signo de + o de -.
• Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas literales con los mismos exponentes.
• Un término independiente es aquel que no cuenta con literal, solamente tiene signo y coeficiente.

Tipos de Expresiones Algebraicas

• Un monomio es una expresión algebraica que cuenta con un solo término.
• Un binomio es una expresión algebraica que cuenta con dos términos.
• Un trinomio es una expresión algebraica que cuenta con tres términos.
• Un polinomio es una expresión algebraica que cuenta con dos o más términos.

Conceptos Numéricos Clave

• Un número primo es aquel que solo se puede dividir entre dos números: él mismo y la unidad.
• Un número compuesto es aquel que, además de ser divisible entre él mismo y la unidad, también es divisible entre otros números.
• El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el número más pequeño que es múltiplo de dos o más números.
• El máximo común divisor (M.C.D.) es el número más grande por el que se pueden dividir dos o más números.

Operaciones y Propiedades Algebraicas

Reducción de Expresiones Algebraicas

Ejemplos de Reducción:

• Expresión 1: +4x - 7x + 3 - 6x + 9y - 4 + 5x - y + 1 - 2x + 4 - 3 = -6x + 8y + 1
• Expresión 2: (+2x² - 7x + 4) - (+2x² - 3x + 5) - (+5x - 2y + 6) + (+4x - 2y + 7) = -5x

Productos Notables

Reglas Fundamentales:

• La regla de un binomio al cuadrado dice: "Primer término al cuadrado, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado."
• La regla de un binomio conjugado dice: "Primer término al cuadrado, menos el segundo al cuadrado."
• La regla de un binomio con término común dice: "Término común al cuadrado, más el término común por la suma algebraica de los no comunes, más el producto de los no comunes."
• La regla de un binomio al cubo dice: "Primer término al cubo, más el triple del primero al cuadrado por el segundo, más el triple del primero por el segundo al cuadrado, más el segundo al cubo."

Ejemplos de Productos Notables:

• Resolver: (2x + 7)(2x - 7) = 4x² - 49
• Resolver: (3x - 8y)(+5x + 3) = 15x² + 9x - 40xy - 24y
• Resolver: (5x + 8)² = 25x² + 80x + 64
• Resolver: (5x²/9 + 3y³/4)(5x²/9 - 3y³/4) = 25x⁴/81 - 9y⁶/16
• Resolver: (9x⁵ + 1)(9x⁵ + 8) = 81x¹⁰ + 81x⁵ + 8
• Resolver: (x - 5)³ = x³ - 15x² + 75x - 125

División de Polinomios

Ejemplos de División:

• Resolver: (18x¹⁰ - 24x⁷ + 36x²) ÷ (-6x⁸) = -3x² + 4/x - 6/x⁶
• Resolver: (20x² - 23x + 6) ÷ (5x - 2) = 4x - 3 (Residuo = 0)

Potenciación y Radicación

Ejemplos:

• Resolver: (11x⁷y³)³ = 1331x²¹y⁹
• Resolver: (+7x²y⁵)² = +49x⁴y¹⁰
• Resolver: √196x⁶y⁴ = +14x³y²
• Resolver: √49x¹⁰y¹² = +7x⁵y⁶
• Resolver: √25a⁵b⁸ = +5a⁵/²b⁴

Aplicaciones de M.C.M. y M.C.D.

Ejemplos Numéricos:

• m.c.m. (10, 15, 20) = 60
• M.C.D. (48, 36) = 12

Problemas de Aplicación:

• Problema 1 (M.C.M.): Marta visita a su padre en la residencia cada 4 días, y su hermano Pedro cada 6 días. Si hoy han coincidido, ¿dentro de cuántos días volverán a coincidir?
  Solución: m.c.m.(4, 6) = 12. Volverán a coincidir en 12 días.
• Problema 2 (M.C.D.): Máximo quiere pintar una casa pequeña. Según sus cálculos, necesitará: 12 litros de pintura roja, 24 litros de pintura verde y 16 litros de pintura blanca. Máximo quiere comprar botes de pintura que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible. ¿De cuántos litros debe ser cada bote de pintura?
  Solución: M.C.D.(12, 24, 16) = 4. Cada bote de pintura deberá ser de 4 litros.