Fundamentos de Álgebra Booleana y Sistemas de Representación Numérica Digital

Fundamentos del Álgebra de Boole y Operaciones Lógicas

El Álgebra de Boole define tres operaciones fundamentales, junto con varias propiedades y teoremas esenciales para la lógica digital y la electrónica:

Operaciones Fundamentales

1. Propiedad Conmutativa:

2. Propiedad Asociativa:

3. Propiedad Distributiva:

4. Elemento Complementario para la Suma:

5. Elemento Complementario para el Producto:

Teoremas Fundamentales del Álgebra de Boole

Los siguientes teoremas son cruciales para la simplificación de expresiones lógicas:

• Ley de Absorción para la Suma:

• Ley de Absorción para el Producto:

• Ley de Identidad para la Suma:

• Ley de Identidad para el Producto:

• Leyes Adicionales de Identidad:

  

• Ley de Involución:

• Leyes de De Morgan:

  

Sistemas de Representación Numérica y Conversiones

Sistemas de Base Numérica

Base Octal (Base 8)

Comprende los números del 0 al 7. Para realizar la conversión a octal, es necesario pasar previamente el número a binario y luego agrupar los bits en conjuntos de 3, convirtiendo cada grupo a su equivalente decimal (que será el dígito octal).

Base Hexadecimal (Base 16)

Utiliza 16 dígitos: del 1 al 9 y luego las letras A a la F. Los pasos son similares a la conversión octal, pero se agrupan los bits binarios en conjuntos de 4.

Representación de Números con Signo

Complemento a 2 (Ca2)

Se utiliza para representar números enteros con signo:

• Números Positivos:
  1. Se pasa el número a binario.
  2. Se le añade el Bit de signo (+0).
• Números Negativos:
  1. Se pasa el valor absoluto a binario.
  2. Se le añade el bit de signo (-1).
  3. Se invierten todos los bits (excepto el de signo).
  4. Se suma 1 al resultado.

Conversión de Ca2 a Binario (Ejemplo): Para convertir un número en Ca2, se toma el número hasta el primer '1' desde la derecha, y se invierten los bits interiores (los que están a la izquierda del primer '1').

Representación de Números Fraccionarios

Coma Fija

Se utiliza para representar números decimales con una posición fija para la parte entera y la parte fraccionaria.

1. Convertir la parte entera a binario.
2. Multiplicar la parte decimal por 2 repetidamente, tantas veces como indique la posición de la coma fija (ej: coma fija de 4 posiciones implica 4 multiplicaciones). Se toma la parte entera del resultado en cada paso.
3. Se juntan la parte entera y la parte decimal obtenida.

Conversión de Coma Fija a Decimal: Para recuperar el valor decimal, se utiliza la expansión posicional. Ejemplo: $0100 \rightarrow 0/2^1 + 1/2^2 + 0/2^3 + 0/2^4 = 0.25$.

Conversiones de Coma Fija a Otras Bases

• Coma Fija a Octal: Se hacen grupos de 3 bits. La parte entera se agrupa de derecha a izquierda, y la parte decimal de izquierda a derecha.
• Coma Fija a Hexadecimal: Se hacen grupos de 4 bits, siguiendo la misma regla de agrupación que en octal.

Códigos Específicos

Código Gray

Consta de 0 y 1. La característica principal es que, al pasar de un número al siguiente, solo puede variar un dígito.

• Binario a Gray: Se suma el primer bit del binario al siguiente, y así sucesivamente. Ejemplo: $10110 \rightarrow 11101$.
• Gray a Binario: Se suma el bit resultante al siguiente bit del código Gray. Ejemplo: $10111 \rightarrow 11010$.

Códigos BCD (Decimal Codificado en Binario)

• BCD Natural: Cada dígito decimal se representa con 4 bits. Ejemplo: $34 \rightarrow 0011\ 0100$.
• BCD Exceso a 3: Se suma 3 al dígito decimal y se convierte el resultado a binario. Ejemplo: $34 \rightarrow (3+3)(4+3) \rightarrow 0110\ 0111$.
• Código Aiken: Se utiliza la representación binaria estándar para los dígitos del 0 al 4. Para los dígitos del 5 al 9, se utiliza la representación binaria del dígito correspondiente más 6 (o se interpreta como el valor 15 en binario para el 9). Ejemplo: $49 \rightarrow 0100\ 1111$ (ya que el 9 decimal corresponde al 15 en Aiken, que es $1111$).

Coma Flotante de Simple Precisión (IEEE 754)

El resultado final siempre ocupa 32 bits, distribuidos en:

• Bit de Signo (1 bit): 0 para positivo, 1 para negativo.
• Exponente (8 bits): Se calcula en exceso a 127.
• Mantisa (23 bits): Representa la parte fraccionaria normalizada.

Conversión de Decimal a Coma Flotante:

1. Bit de Signo: Determinar si es positivo (0) o negativo (1).
2. Mantisa:
   • Convertir el número a binario en coma fija (ej: $2.25 \rightarrow$ Parte entera $2=10$, Parte decimal $0.25=0100$). Resultado: $10.0100$.
   • Normalizar: Mover la coma hasta que solo quede un '1' a la izquierda de la coma (ej: $110.1000...$ pasaría a $1.101000...$).
   • Exponente: El número de posiciones que se movió la coma determina el exponente. Este valor se debe expresar en exceso a 127. (Ejemplo anterior: si se movió 2 posiciones, el exponente es $2 + 127 = 129$, que se convierte a binario para los 8 bits).
   • La mantisa final son los dígitos después del primer '1' normalizado.

Formas Canónicas de Expresiones Booleanas

Minterms (Suma de Productos - SOP)

Se obtienen tomando los términos donde la función es igual a 1. Se forman productos de las variables, negando aquellas variables que valen 0 en ese término.

Maxterms (Producto de Sumas - POS)

Se obtienen tomando los términos donde la función es igual a 0. Se forman sumas de las variables, negando aquellas variables que valen 1 en ese término.

Transformación a Compuertas NAND o NOR

Cualquier ecuación lógica puede implementarse utilizando únicamente compuertas NAND o únicamente compuertas NOR, aplicando el principio de doble negación a las ecuaciones originales.