Funciones de Transferencia: Conceptos Clave y Propiedades para Sistemas de Control

Funciones de Transferencia en Sistemas de Control

¿Qué es una Función de Transferencia?

El primer paso para el análisis y diseño de un sistema es el modelado matemático de los procesos controlados. La forma clásica de modelar un sistema lineal es utilizar su función de transferencia para representar la relación entrada-salida entre las variables.

La Respuesta al Impulso

Una forma de representar la función de transferencia es utilizar la respuesta al impulso. La respuesta al impulso es lo que se obtiene a la salida de un sistema cuando a la entrada se aplica una función de impulso unitario.

Definición Matemática

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero. También se puede definir como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada.

Si G(s) denota la función de transferencia de un sistema con una entrada u(t), una salida y(t) y una respuesta al impulso g(t), la función de transferencia se puede representar como:

• G(s) = ℒ[g(t)]
• G(s) = Y(s) / U(s)

Donde Y(s) y U(s) son las transformadas de Laplace de y(t) y u(t), respectivamente.

Conceptos Clave Asociados

A menudo, la función de transferencia se describe a partir de una ecuación diferencial.

Ecuación Característica

La ecuación característica de un sistema lineal se obtiene al igualar a cero el polinomio del denominador de la función de transferencia. Las raíces de esta ecuación son los polos del sistema.

Funciones Propias e Impropias

La función de transferencia de un sistema se dice que es propia si el grado del polinomio del denominador es mayor al grado del polinomio del numerador. Se dice que es impropia si el grado del polinomio del numerador es mayor al grado del polinomio del denominador.

Propiedades de las Funciones de Transferencia

1. La función de transferencia está definida únicamente para sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI).
2. Se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso (con condiciones iniciales nulas) o como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la de la entrada.
3. Todas las condiciones iniciales del sistema se consideran iguales a cero.
4. La función de transferencia es una propiedad del sistema, por lo tanto, es independiente de la entrada que se le aplique.
5. Para un sistema en tiempo continuo, se expresa únicamente en función de la variable compleja s.
6. Para un sistema en tiempo discreto, se expresa únicamente en función de la variable z, cuando aplicamos la transformada Z.

Diagramas de Bloque

Los diagramas de bloque son una representación gráfica de la composición e interconexión de los componentes de un sistema. Permiten visualizar el flujo de señales.

Por ejemplo, un sistema de control de velocidad podría representarse como:

Voltaje de entrada (V(t)) → Amplificador → Motor DC → Carga → Velocidad de rotación (ω(t))

A este sistema se le pueden añadir otras señales, como el ruido. Cada bloque tendría su propia función de transferencia, como por ejemplo:

• Amplificador: A(s) / (B·s² + C·s + D)
• Motor: K / (R + L·s)
• Carga: 1 / (B + L·s)

Funciones de Transferencia en Sistemas Multivariables

Para determinar la función de transferencia de un sistema multivariable (con múltiples entradas y salidas), se aplica el principio de superposición. Este método consiste en determinar la función de transferencia para cada entrada de forma individual, igualando las demás entradas a cero, y finalmente sumar todas las funciones de transferencia obtenidas para encontrar la salida total.