Funciones Racionales: Propiedades, Asíntotas y su Cálculo

Conceptos Fundamentales

Antes de profundizar en las funciones racionales, es importante repasar algunos conceptos clave:

• Función racional: Es una función de la forma f(x) = g(x) / h(x), donde el denominador h(x) ≠ 0.
• Asíntota: Término de origen griego que se refiere a algo que no coincide. En geometría, nombra a una recta que, a medida que se prolonga indefinidamente, tiende a acercarse a una cierta curva o función, pero sin llegar a encontrarla o tocarla.
• Límite: La expresión lím_x→c f(x) = L significa que la diferencia entre f(x) y L puede hacerse arbitrariamente pequeña, a condición de que x se encuentre suficientemente cerca de c, pero sin ser igual a c.
• Función exponencial: Una función de la forma f(x) = a^x, donde la base a > 0 y a ≠ 1. Aquí, a es una constante y el exponente x es una variable.
• Logaritmo: El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número, llamado base, para obtener dicho número.

Análisis de las Funciones Racionales

Características y Propiedades

Las funciones racionales tienen varias propiedades distintivas que determinan su comportamiento y su gráfica:

1. Singularidades: Son aquellos valores de x que hacen que la función quede indefinida porque el denominador se convierte en cero (y la división entre cero no es posible). En estos puntos, la función no está definida y, por lo tanto, no pertenecen a su dominio. Es crucial estudiar cómo se comporta la función cerca de estas singularidades.
2. Puntos de corte con el eje X: Son los valores de x que hacen que el gráfico de la función cruce el eje de abscisas. Se calculan encontrando los valores de x para los cuales se cumple que f(x) = 0.
3. Continuidad: Las funciones racionales son continuas en todo su dominio. Las discontinuidades ocurren únicamente en las singularidades.
4. Comportamiento en el infinito: Es el estudio del comportamiento de la función cuando el valor de x crece indefinidamente hacia el infinito positivo (x → +∞) o decrece hacia el infinito negativo (x → -∞). En muchos casos, la función se aproxima a una recta denominada asíntota.

Asíntotas: Definición y Tipos

Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de una función se aproxima indefinidamente. Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Existen tres tipos principales de asíntotas: horizontal, vertical y oblicua.

Cálculo de Asíntotas

Para una función racional de la forma f(x) = P(x) / Q(x), donde m es el grado del polinomio del numerador P(x) y n es el grado del polinomio del denominador Q(x), las asíntotas se calculan de la siguiente manera:

Asíntota Vertical

Se encuentran en los valores de x que anulan el denominador, siempre y cuando no anulen también el numerador. Son rectas de la forma x = k.

Asíntota Horizontal

Se determina comparando los grados del numerador (m) y del denominador (n):

• Si m < n, la recta y = 0 (el eje X) es la asíntota horizontal.
• Si m = n, la recta y = a_m / b_n es la asíntota horizontal, donde a_m y b_n son los coeficientes principales del numerador y denominador, respectivamente.
• Si m > n, no hay asíntota horizontal. En este caso, podría existir una asíntota oblicua.

Asíntota Oblicua

Existe únicamente cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador (es decir, m = n + 1). La asíntota es una recta de la forma y = mx + b, y su ecuación se obtiene al realizar la división de los polinomios.