Funciones monótonas y derivabilidad: continuidad, tangente y regla de la cadena

Funciones monótonas

Definición: f(x) es monótona (creciente o decreciente) en un intervalo I cuando para todo x₁, x₂ ∈ I, con x₁ < x₂, se cumple que f(x₁) ≤ f(x₂) (monótona creciente) o f(x₁) ≥ f(x₂) (monótona decreciente).

Propiedad: Si f es una función monótona en un intervalo cerrado [a,b], entonces la función está acotada en dicho intervalo [a,b].

Demostración:

• Si f es monótona creciente en [a,b], entonces para todo x ∈ [a,b] se tiene a ≤ x ≤ b, luego f(a) ≤ f(x) ≤ f(b). Por tanto, f(a) es cota inferior y f(b) es cota superior de f en [a,b]; es decir, la función f está acotada en [a,b].
• Si f es monótona decreciente en [a,b], entonces para todo x ∈ [a,b] se tiene a ≤ x ≤ b, luego f(a) ≥ f(x) ≥ f(b). Por tanto, f(b) es cota inferior y f(a) es cota superior de f en [a,b]; es decir, la función f está acotada en [a,b].

Derivabilidad de una función en un punto

Definición: Decimos que la función f(x) es derivable en el punto x = a cuando existe y es finito el límite lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)] / h. Otra expresión equivalente es lim_{x→a} [f(x) − f(a)] / (x − a).

2. Interpretación geométrica de la derivada

Si consideramos dos puntos sobre la gráfica de la función, P1 en x = a y P2 en x = a + h, la pendiente de la secante que une P1 y P2 viene dada por tan α = [f(a+h) − f(a)] / h. Al aproximar P2 a P1 (es decir, cuando h → 0), el ángulo α tiende a un ángulo límite β y se obtiene

f'(a) = tan β.

Luego, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La ecuación de la recta tangente en el punto x = a es:

y = f(a) + f'(a) (x − a)

Relación entre derivabilidad y continuidad

Teorema: Si una función f(x) es derivable en un punto x = a, entonces dicha función es continua en ese punto x = a.

Demostración: Supongamos que f es derivable en x = a, es decir, lim_{x→a} [f(x) − f(a)] / (x − a) = f'(a). Para mostrar continuidad se debe probar que lim_{x→a} f(x) = f(a). Observamos que

f(x) − f(a) = [(f(x) − f(a)) / (x − a)] · (x − a).

Tomando límites cuando x → a, la primera factor tiende a f'(a) y la segunda tiende a 0, por lo que su producto tiende a 0. Entonces lim_{x→a} [f(x) − f(a)] = 0, y por tanto lim_{x→a} f(x) = f(a), lo que demuestra la continuidad en a.

Derivabilidad de la función compuesta

Teorema: Sea h(x) = g(u) con u = f(x). Si la función f(x) es derivable en el punto x = x₀ y la función g(u) es derivable en el punto u = u₀ = f(x₀), entonces la función h(x) es derivable en x = x₀. Además, la derivada viene dada por la expresión h'(x₀) = g'(u₀) · f'(x₀) (regla de la cadena).

Demostración:

Partimos de la definición de derivada en x₀ y escribimos

h'(x₀) = lim_{x→x₀} [h(x) − h(x₀)] / (x − x₀) = lim_{x→x₀} [g(u) − g(u₀)] / (x − x₀), donde u = f(x) y u₀ = f(x₀).

Podemos reescribir el cociente como

[g(u) − g(u₀)] / (x − x₀) = [g(u) − g(u₀)] / (u − u₀) · [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀).

Como f es derivable en x₀, es continua en x₀, por lo que cuando x → x₀ se tiene u → u₀. Tomando límites, obtenemos

h'(x₀) = lim_{u→u₀} [g(u) − g(u₀)] / (u − u₀) · lim_{x→x₀} [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀) = g'(u₀) · f'(x₀).

Esto demuestra la regla de la cadena.