Funciones Matemáticas: Lineales, Cuadráticas e Interpolación

Funciones lineales e interpolación

Hallar la pendiente

Para calcular la pendiente (m) de una recta que pasa por dos puntos, se utiliza la fórmula: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁).

Ecuación de la recta

Si de una función lineal se conoce un punto y su pendiente, se utiliza la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:

y = m(x - x₀) + y₀

Interpolación lineal

Si x ∈ (x₀, x₁), entonces la función se define como: f(x) = [(y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)] * (x - x₀) + y₀. A este proceso se le llama interpolación lineal.

Si x es exterior al intervalo [x₀, x₁], el proceso se denomina extrapolación.

Funciones cuadráticas e interpolación

Parábola que pasa por tres puntos

Para determinarla, ponemos su ecuación en forma general: y = ax² + bx + c y obligamos a que la curva pase por cada uno de los tres puntos dados.

Método de Newton para obtener la ecuación de una parábola

Aplicando este método, la parábola que pasa por tres puntos, A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) y C(x₃, y₃), se consigue de una forma más cómoda utilizando la siguiente fórmula:

y = p + m(x - x₁) + n(x - x₁)(x - x₂)

Interpolación parabólica

Se realiza mediante la siguiente fórmula:

y = p + m(x - x₁) + n(x - x₁)(x - x₂) → y = p + mx + nx(x - x₂)

1. Se obliga a que la función pase por cada uno de los tres puntos.
2. Obtenemos el valor de p en cada uno de los puntos pedidos sustituyendo en la fórmula: y = p + mx + nx(x - x₂).

Funciones de proporcionalidad inversa

1. Son las que tienen la ecuación: y = k / x.
2. Sus gráficas son hipérbolas. Su dominio de definición es (-∞, 0) ∪ (0, +∞).
3. Cada hipérbola se ciñe a un par de rectas llamadas asíntotas.
4. También son hipérbolas las funciones de la forma: y = (ax + b) / (cx + d).

Funciones raíz

1. Las funciones de ecuación y = k (donde k es distinta de 0).
2. Se representan mediante parábolas con el eje paralelo al eje X.

Funciones definidas "a trozos"

La expresión analítica de estas funciones es muy peculiar:

• Requieren varias fórmulas; cada una rige el comportamiento de la función en un cierto tramo.
• Su representación gráfica es fácil si sabemos representar cada uno de los tramos y se presta atención a los puntos de empalme.
• Cuando se requiere hallar su expresión analítica, primero hay que hallar su pendiente y luego la ecuación punto-pendiente.

Valor absoluto de una función

El valor absoluto de una función y = f(x) se define de la siguiente manera:

y = |f(x)| =

• f(x) si f(x) ≥ 0
• -f(x) si f(x) ≤ 0