Funciones, Límites, Continuidad y Derivadas: Conceptos y Técnicas Matemáticas

Funciones y operaciones

Dominio

Dominio: Depende del tipo de función:

• Funciones exponenciales, polinómicas o raíces de índice impar: dominio = todos los reales.
• Raíz de índice par: todos los reales que hagan que el radicando sea ≥ 0. Ejemplo: f(x) = √(7x - 3). Dom(f) = [3/7, +∞).
• Logarítmicas: todos los x tales que el argumento del logaritmo sea > 0.
• Racionales: todos los reales salvo los que anulan el denominador.

Operaciones con funciones

Se definen las operaciones habituales:

• Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x).
• Resta: (f - g)(x) = f(x) - g(x).
• Producto: (f · g)(x) = f(x) · g(x).
• Cociente: (f / g)(x) = f(x) / g(x), con g(x) ≠ 0.
• Composición: (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Ejemplo de composición: Sea f(x) = 2x + 3 y g(x) = x² - 4. Entonces g(f(x)) = (f(x))² - 4 = (2x + 3)² - 4 = 4x² + 12x + 5.

Crecimiento y decrecimiento

Para estudiar crecimiento o decrecimiento, se calcula la derivada f'(x) y se estudia su signo: si f'(x) > 0 en un intervalo, f es creciente allí; si f'(x) < 0, es decreciente.

Continuidad y tipos de discontinuidad

Una función f es continua en x = a si se cumplen las tres condiciones:

1. La función está definida en a (f(a) existe).
2. Existen los límites laterales en a y son finitos.
3. El límite coincide con el valor: lim_{x→a} f(x) = f(a).

Tipos de discontinuidad:

• Removible: el límite existe pero no coincide con f(a) o f(a) no está definido.
• De salto finito: los límites laterales existen pero son distintos (salto).
• De salto infinito (esencial): al menos uno de los límites laterales es ±∞.

Asíntotas

Verticales: se buscan en puntos fuera del dominio; aparecen si el límite lateral en ese punto es ±∞ (por ejemplo, ceros del denominador que provocan divergencia).

Horizontales: se estudian los límites cuando x → ±∞. En funciones racionales, suelen aparecer cuando el grado del numerador y del denominador son iguales; el límite será la razón de los coeficientes principales. Si el grado del numerador es menor, la asíntota horizontal suele ser y = 0; si mayor, no hay asíntota horizontal (puede haber oblicua).

Características de funciones exponenciales y logarítmicas

• Ejemplo de aplicación económica de crecimiento exponencial: C(t) = C₀(1 + r)^t.
• Función logarítmica: recorrido = (-∞, +∞) en la imagen de ln; el dominio depende del argumento.
• Para una exponencial a^x: si a > 1, a^x es creciente; si 0 < a < 1, es decreciente.

Límites y continuidad

Cálculo práctico de límites

• Caso inmediato: si la función es polinómica o racional y el punto no es singular, se sustituye directamente.
• Comportamiento para x → ±∞ en polinómicas: predomina el término de mayor grado; se toma el signo del coeficiente del término dominante.
• k/0: si el numerador tiende a una constante k ≠ 0 y el denominador tiende a 0, el límite es ±∞ dependiendo del signo lateral del denominador; se estudia el signo.

Indeterminaciones

Formas indeterminadas comunes y cómo tratarlas:

• ∞/∞: en expresiones racionales, se divide por la potencia más alta de x o se simplifica por x; si el grado del denominador es mayor que el del numerador, el límite es 0; si el grado del numerador es mayor, suele ser ±∞; si son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
• 0/0: factorizar, simplificar, racionalizar o aplicar la regla de L'Hôpital (derivar numerador y denominador) cuando proceda.
• Exponenciales: e^{+∞} = +∞, e^{-∞} = 0; de forma más general, si a > 1 entonces a^{+∞} = +∞ y a^{-∞} = 0; si 0 < a < 1 ocurre lo contrario.
• Logarítmicas: lim log(f(x)) = log(lim f(x)) siempre que lim f(x) exista y sea positivo.
• Trigonométricas: existen límites trigonométricos básicos (por ejemplo, lim_{x→0} (sin x)/x = 1) y a menudo requieren identidades trigonométricas o series para su cálculo.

Teorema de Bolzano (teorema del valor intermedio cero)

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signos distintos en los extremos (f(a)·f(b) < 0), entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Ejemplo: f(x) = x^3 - 3x - 1 es continua en [1, 2]. Calculando f(1) y f(2) se obtiene un valor negativo en 1 y positivo en 2, por lo que existe c ∈ (1,2) con f(c) = 0.

Para aplicar Bolzano es necesario que la función sea continua en todo [a,b] y que f(a) y f(b) tengan signos opuestos.

Derivadas

Concepto y recta tangente

La derivada de una función en un punto mide la pendiente de la recta tangente en ese punto. La ecuación de la recta tangente en x = a es:
y - f(a) = f'(a) (x - a).

Ejercicio tipo

Determinar valores de los parámetros a, b y c para que la función
f(x) = a(x - 1)^3 + b x + c
cumpla las condiciones:

• Pase por el punto (1, 1): f(1) = 1.
• En (1, 1) su tangente tenga pendiente 2: f'(1) = 2.
• Tenga un máximo en x = 2: f'(2) = 0 (y revisar f''(2) para confirmar máximo).

Derivabilidad

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Para que una función sea derivable en un intervalo, además de ser continua, las derivadas laterales deben coincidir en cada punto del intervalo abierto.

Operaciones con derivadas

• Suma/Resta: (f ± g)'(x) = f'(x) ± g'(x).
• Producto por escalar: (k·f)'(x) = k·f'(x).
• Producto: (f·g)'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x).
• Cociente: (f/g)'(x) = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)) / g(x)^2, con g(x) ≠ 0.
• Composición (regla de la cadena): (g ∘ f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x).

Derivadas de funciones elementales

• Constante: (k)' = 0.
• Identidad: (x)' = 1.
• Regla de la potencia: (x^n)' = n x^{n-1} (ej.: (x^7)' = 7x^6).
• Exponencial: si h(x) = a^{u(x)}, entonces h'(x) = a^{u(x)} · ln(a) · u'(x).
  Ejemplo: d/dx [3^{6x^3 - 3x}] = 3^{6x^3 - 3x} · ln 3 · (18x^2 - 3).
• Logarítmica: d/dx [log_a(u(x))] = u'(x) / (u(x) ln a).
  Ejemplo: d/dx [log_6(3x^4 - 8)] = 12x^3 / ((3x^4 - 8) ln 6).
• Logaritmo natural: (ln x)' = 1/x.
• Raíz: d/dx [√x] = 1 / (2√x) (para x > 0).

La derivación por partes se aplica cuando tenemos un producto de funciones cuya primitiva conocemos parcialmente; es una técnica útil en integración, pero también es relevante al estudiar relaciones entre funciones potenciación/exponencial.

Aplicación económica de la derivada

• Coste marginal (discreto): C(x + 1) - C(x).
• Coste marginal (continua, aproximado): C'(x).
• Ingreso marginal: I'(x).
• Beneficio: B(x) = I(x) - C(x); beneficio marginal ≈ B'(x) = I'(x) - C'(x).

Derivación implícita

Ejemplo: partiendo de la ecuación

x^3 + y^2 = 6 x^2 y^3

Derivamos implícitamente respecto a x:

3x^2 + 2y y' = 12x y^3 + 18 x^2 y^2 y'.

Agrupando los términos con y' y resolviendo:

2y y' - 18 x^2 y^2 y' = 12x y^3 - 3x^2

y' (2y - 18 x^2 y^2) = 12x y^3 - 3x^2

Por tanto,

y' = (12x y^3 - 3x^2) / (2y - 18 x^2 y^2) (si el denominador no es cero).

Teorema de Rolle

Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.

Ejemplo: f(x) = x^2 + x + 2 en el intervalo [-2, 1]. Calculamos f(-2) = 4 y f(1) = 4, por tanto, existe c ∈ (-2, 1) con f'(c) = 0. Como f'(x) = 2x + 1, igualando a 0 se obtiene c = -1/2, que pertenece a (-2,1).

En problemas con parámetros, se plantean las condiciones de continuidad y derivabilidad y se igualan los valores pertinentes para resolver a y b.

Observaciones finales

Este compendio reúne conceptos fundamentales sobre dominio de funciones, operaciones, límites, continuidad, asíntotas y derivadas, junto con ejemplos prácticos y teoremas clave (Bolzano y Rolle). Para estudiar problemas concretos es recomendable practicar los ejemplos y aplicar las técnicas adecuadas (factorización, racionalización, regla de la cadena, regla de l'Hôpital, identificación de asíntotas, etc.).