Funciones, combinatoria, probabilidad y estadística: conceptos, fórmulas y ejercicios

Funciones

Funciones polinómicas de primer grado: y = m x + n (sustituir los puntos y ya).

Funciones polinómicas de segundo grado: y = a x² + b x + c. Es una parábola. Se estudian: vértice (x_v, y_v), si a es mayor o menor que 0 (concavidad), puntos de corte con los ejes y tabla de valores.

Función racional: de tipo y = k / (x - a) es una hipérbola. Tiene asíntota vertical en x = a. Si k > 0, la hipérbola se sitúa en los cuadrantes I y III.

Función exponencial: y = a^x. Es creciente si a > 1. Construir tabla de valores para representación.

Función logarítmica: y = log_a(x). Dominio: (0, +∞). Es creciente si a > 1.

Combinatoria

Conceptos y fórmulas fundamentales:

• Permutaciones (orden total): P(n) = n! (todas las disposiciones de n elementos).
• Variaciones (sin repetición): V(n, m) = n! / (n - m)! (se tiene en cuenta el orden).
• Variaciones con repetición: V_rep(n, m) = n^m (cada puesto puede repetirse).
• Combinaciones (sin orden): C(n, m) = n! / (m! (n - m)!).

Propiedades importantes

• C(n, n) = 1.
• C(n, 0) = 1.
• C(n, m) = C(n, n - m) (simetría).
• C(n, 1) = n.

Notas sobre cuando influye el orden

• Sí influye el orden: permutación (se cogen todos los elementos) o variación (no se cogen todos, pero sí importa el orden).
• No influye el orden: combinación (no se repiten y no importa el orden).
• Si se permiten repeticiones y no importa el orden: combinaciones con repetición.

Probabilidad

Unión: P(A ∪ B).

• Si A y B son incompatibles (mutuamente excluyentes): P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• En general: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Intersección: se denota A ∩ B y corresponde a "y".

Complementario: se indica como la barra encima del suceso: Ā (o A^c).

Probabilidad condicionada: P(A | B) es la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B. Fórmula: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), si P(B) > 0.

Estadística

Terminología para tablas de frecuencia:

• x_i: los valores o categorías observadas.
• f_i: frecuencia absoluta de cada x_i (número de veces que aparece).
• n: total de observaciones (suma de las f_i).
• h_i: frecuencia relativa = f_i / n.
• F_i: frecuencias acumuladas (suma progresiva de f_i).
• H_i: frecuencias relativas acumuladas (suma progresiva de h_i).
• Columnas auxiliares: x_i·f_i y x_i²·f_i.

Medidas de posición y dispersión

• Rango: diferencia entre el mayor y el menor valor.
• Moda: valor x_i con mayor f_i.
• Mediana: ordenar los valores y tomar el que está en el medio (o media de los dos centrales si n es par).
• Media aritmética: x̄ = (Σ x_i·f_i) / n .
• Desviación media: media de los valores absolutos de las desviaciones: (Σ f_i·|x_i − x̄|) / n.
• Varianza: σ² = (Σ f_i·x_i²) / n − x̄² (para población).
• Desviación típica (desviación estándar): σ = √(varianza).
• Coeficiente de variación: CV = σ / x̄ (normalmente expresado en porcentaje).

Cuartiles

• Q1: posición ≈ n / 4.
• Q2 (mediana): posición ≈ n / 2.
• Q3: posición ≈ 3 n / 4.

Gráficos

• Histograma: columnas contiguas (para variables continuas).
• Diagrama de barras: columnas separadas (para variables categóricas).
• Polígono de frecuencias: puntos centrados sobre intervalos unidos con segmentos.
• Gráfico sector (pastel): cada sector: (frecuencia / total) × 360°.

Examen (ejemplos y apuntes)

1. Ejercicio 1: Quitar la raíz y pasar las potencias delante; multiplicar: ejemplo dado: (-2 × 0.301 - 0.477) = -1.6185.
2. Ejercicio 2: Dejar la raíz de 2x sola, elevar y obtener una ecuación de segundo grado: 0 = 9x² - 260x + 484; soluciones: x = 2 y x = 242/9 (esta última no vale).
3. Ejercicio 3: Identidad y racionalización: ejemplo con 5√3 - 6/√3 + 1 y +5; racionalizar y simplificar; resultado final: (31 - 11√3) / 2.
4. Ejercicio 4: Sistema con funciones seno: por ejemplo, sen = 3 / (y + x) y otro sen = 2 / x. La y va desde los centros de los círculos; la x va desde el centro del círculo pequeño hasta el vértice (descripción geométrica del problema).
5. Ejercicio 5: Parábola con vértice en (-2, 0). Corte con eje x en (-2, 0). Corte con eje y en (0, 4). Construir tabla de valores.
6. Ejercicio 6: Triángulo: el vértice B arriba. Hacer el vector director de AC y luego el perpendicular; con esto construir la ecuación continua de la recta.
7. Ejercicio 7: Calcular dominio: igualar las dos expresiones a 0 y dibujar la línea que limita el dominio.
8. Ejercicio 8: "15 partidas" es una combinación (ejemplo práctico de conteo).
9. Nota adicional (texto original con correcciones mínimas): Otro: quitar denominadores. x < 98,5 y > 98 o igual x.