Fuerzas conservativas, energía potencial y teoremas de dinámica en sistemas de partículas

Fuerzas dependientes de la posición

Fuerzas dependientes de la posición son aquellas para las que la fuerza F depende únicamente de la posición de la partícula, es decir, F(→r). Estas fuerzas permiten la integración de la ecuación del movimiento en términos energéticos.

Trabajo y energía para fuerzas conservativas

Teorema de energía: w = ∫ F(→r) · d→r = E_c2 − E_c1. Esta expresión es útil para calcular el trabajo sin conocer el camino. A estas fuerzas se les denomina fuerzas conservativas, ya que el trabajo realizado por ellas depende únicamente de las posiciones inicial y final (es decir, es independiente del camino).

• Si la partícula recorre un camino cerrado, el trabajo de una fuerza conservativa es nulo.
• Por tanto, existe una función escalar E_p (energía potencial) cuyos valores en el punto inicial y final determinan el trabajo realizado por la fuerza: w = −ΔE_p.
• En un tramo infinitesimal: F(→r) · d→r = −dE_p.

Interpretación de la energía potencial

E_p, la energía potencial en cualquier punto del espacio, representa el trabajo que realiza una fuerza externa contra el campo de la fuerza F(→r). Es decir, el trabajo necesario para llevar una partícula desde una posición de referencia (por ejemplo el origen) hasta el punto →r.

Ejemplos

• Fuerza elástica de un muelle: F = −k x. Entonces dE_p = k x dx y, al integrar, E_p = 1/2 k x².
• Campo gravitatorio (cerca de la superficie): para el peso F = −m g ẑ, se tiene dE_p = m g dz y, por tanto, E_p = m g z (según la referencia elegida).

Conservación de la energía mecánica

Cuando la fuerza total que soporta la partícula es conservativa, la suma de la energía cinética (E_c) y la energía potencial (E_p) se mantiene constante a lo largo del trayecto. Es decir:

• W = ΔE_c = −ΔE_p
• E_c + E_p = E_m = constante (energía mecánica)

Si entre las fuerzas que actúan sobre la partícula hay fuerzas no conservativas, la energía mecánica no se conserva. En ese caso:

E_c2 + E_p2 = E_c1 + E_p1 + W_{nc}, donde W_{nc} es el trabajo de las fuerzas no conservativas.

Dinámica de un sistema de partículas: teoremas del momento lineal, momento angular y energía

En un sistema de partículas existen teoremas fundamentales relacionados con la cantidad de movimiento (momento lineal), el momento angular y la energía. A continuación se exponenen y corrigen las ideas principales.

1. Teorema del momento lineal

Supongamos que dos partículas interactúan entre sí con fuerzas F_{21} y F_{12}, y que cada una experimenta una variación de su momento lineal: F_{21} = dP_1/dt y F_{12} = dP_2/dt. Las fuerzas que actúan entre partículas no se anulan individualmente, sino que sus pares cumplen la tercera ley de Newton (acción y reacción): F_{21} = −F_{12}.

El momento lineal total del sistema es P(→) = P_1 + P_2 + .... Si existen fuerzas externas, la derivada del momento lineal total no es nula. Definiendo la fuerza resultante externa sobre el sistema como F_{ext} = dP/dt, el teorema establece que la derivada temporal del momento lineal total es igual a la fuerza externa resultante.

Teorema de conservación del momento lineal: si F_{ext} = 0, entonces P = constante.

2. Momento angular

El momento angular total de un sistema de partículas respecto al origen de un sistema de referencia inercial O se define como la suma vectorial de los momentos angulares de todas las partículas respecto a ese punto: L_o = Σ r_i × p_i.

El impulso de las fuerzas externas respecto al origen O (momento de las fuerzas externas) es la suma de los momentos de las fuerzas que experimentan todas las partículas respecto a ese mismo punto. El impulso de las fuerzas internas cumple la tercera ley de Newton en forma de momentos, por lo que las contribuciones internas se anulan entre sí (M_{int} = 0).

La ecuación de evolución del momento angular total es: M_{o,ext} = dL_o / dt, donde M_{o,ext} es el momento resultante de las fuerzas externas respecto al origen O.

Conservación del momento angular: si M_{o,ext} = 0, entonces L_o = constante.

3. Teorema de la energía para un sistema de partículas

La energía cinética total del sistema es la suma de las energías cinéticas de las partículas que lo componen: E_c = Σ E_{c,i}.

El trabajo total de las fuerzas internas, W_{int}, es la suma de todos los trabajos realizados por las fuerzas internas sobre las partículas. Análogamente, el trabajo total de las fuerzas externas, W_{ext}, es la suma de todos los trabajos realizados por las fuerzas externas sobre las partículas.

La relación entre trabajos y variación de energía cinética del sistema se puede escribir como:

W_{int} + W_{ext} = ΔE_c.

En general, si W_{int} ≠ 0, las partículas pueden experimentar desplazamientos diferentes y el tratamiento debe considerar dichos trabajos internos explícitamente.

Notas finales

• En resumen: las fuerzas conservativas permiten definir una energía potencial y conducen a la conservación de la energía mecánica cuando no hay fuerzas no conservativas.
• En sistemas de partículas, los teoremas del momento lineal y del momento angular establecen condiciones de conservación cuando las fuerzas externas (o el momento de las fuerzas externas) son nulas.
• El teorema de la energía para sistemas considera tanto trabajos internos como externos para relacionar con la energía cinética total del sistema.