Fórmules i Equacions de la Recta al Pla: Guia Completa de Geometria Analítica

Rectes en el Pla: Fórmules i Conceptes Clau

Equacions de la Recta

Sigui P(x₀, y₀) un punt de la recta i v=(a, b) el seu vector director.

• Forma Vectorial

  Fórmula: (x, y) = (x₀, y₀) + k(a, b), on k ∈ ℝ.

• Forma Paramètrica

  Sistema d'equacions obtingut de la forma vectorial.

  Fórmules: x = x₀ + ka; y = y₀ + kb, on k ∈ ℝ.

• Forma Contínua

  S'obté aïllant el paràmetre k.

  Fórmula: (x - x₀) / a = (y - y₀) / b

• Forma Implícita (o General)

  S'obté eliminant denominadors i igualant a zero. El vector director és v=(-B, A).

  Fórmula: Ax + By + C = 0

  Nota: També es pot expressar com: bx - ay - bx₀ + ay₀ = 0.

• Forma Explícita

  S'obté aïllant y. El pendent és m = -A/B = tg(α) i n és l'ordenada a l'origen (0, n).

  Fórmula: y = mx + n

• Forma Canònica (o Segmentària)

  Utilitza els punts de tall amb els eixos (p, 0) i (0, n).

  Fórmula: x/p + y/n = 1

• Forma Punt-Pendent

  Utilitza un punt P(x₀, y₀) i el pendent m.

  Fórmula: y - y₀ = m(x - x₀)

Determinació de la Recta

• Recta determinada per dos punts

  Donats P(x₀, y₀) i Q(x₁, y₁). El vector director és v = (x₁ - x₀, y₁ - y₀). Es crea l'equació amb un punt i el vector director.

• Recta determinada per un punt i el pendent

  Donat P(x₀, y₀) i el pendent m. Es pot utilitzar l'equació punt-pendent o substituir les dades en l'equació explícita (y = mx + n) per trobar n.

  Nota: El vector director associat al pendent m és v = (1, m).

• Casos particulars

  • Si P(0, 0) i Q(x₁, y₁): v = (x₁, y₁).
  • Si P(0, n) i Q(p, 0): S'utilitza la forma canònica x/p + y/n = 1.

Posició Relativa de Dues Rectes

Incidència i Paral·lelisme

Siguin r i s dues rectes, amb coeficients A₁, B₁, C₁ i A₂, B₂, C₂ respectivament, i pendents mᵣ i mₛ.

• Rectes Paral·leles (r // s)

  Explícita: mᵣ = mₛ.

  Implícita: A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂.

• Rectes Coincidents (r = s)

  Explícita: mᵣ = mₛ i nᵣ = nₛ.

  Implícita: A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂.

• Rectes Incidents (o Secants)

  Tenen un punt en comú (no són paral·leles ni coincidents).

  Explícita: mᵣ ≠ mₛ.

  Implícita: A₁/A₂ ≠ B₁/B₂.

Perpendicularitat de Rectes

Dues rectes són perpendiculars si:

• Vectors Directors: El producte escalar és zero: v · w = 0 (ja que cos 90° = 0).

• Pendents: El producte dels pendents és -1: mᵣ · mₛ = -1.

• Coeficients de les Implícites: A·A' + B·B' = 0.

Projecció i Simetria

• Projecció d’un punt sobre una recta

  La projecció P' d'un punt P és el punt d'intersecció de la recta r amb la recta perpendicular s que passa per P.

  Exemple: P(-2, 1), r: x - 3y - 5 = 0. El vector director de r és vᵣ=(3, 1). La recta perpendicular s és 3x + y + C = 0. Cal buscar C amb el punt P i fer un sistema d'equacions per trobar P'(x, y).

• Punt Simètric d’un punt respecte a una recta

  El punt simètric S(s₁, s₂) es troba sabent que la projecció P' és el punt mitjà M del segment PS.

  Fórmula del punt mitjà: P' = M = ((xₚ + s₁)/2, (yₚ + s₂)/2).

  Procediment: Calcular P'. Igualar les coordenades de P' a les fórmules del punt mitjà i aïllar s₁ i s₂.

Angle entre Dues Rectes

L'angle α entre dues rectes es calcula utilitzant els seus vectors directors v i w.

Fórmula: cos(α) = |v · w| / (|v| |w|)

α = arccos(|v · w| / (|v| |w|))

• Si α = 0°, les rectes són paral·leles o coincidents.
• Si α = 90°, les rectes són perpendiculars (v · w = 0).

Distàncies

Distància entre dos punts

Donats A(x₀, y₀) i B(x₁, y₁).

Fórmula: d(A, B) = |AB| = √((x₁ - x₀)² + (y₁ - y₀)²)

Distància d'un punt a una recta

Donat un punt P(x₀, y₀) i una recta r: Ax + By + C = 0.

Mètode 1: Calcular la projecció ortogonal P' de P sobre r i calcular la distància entre P i P'.

Mètode 2 (Fórmula): Aplicar la fórmula directa.

Fórmula: d(P, r) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Distància entre dues rectes

Només es calcula si les rectes són paral·leles.

Procediment:

1. Triar un punt qualsevol P d'una de les rectes.
2. Aplicar la fórmula de distància d'un punt a una recta (Mètode 2) utilitzant P i l'altra recta.

Exemple: r: (x - 1) / 3 = (y + 2) / -1 (vᵣ=(3, -1)). s: 2x + 6y + 7 = 0 (vₛ=(-6, 2)). Són paral·leles. Triem un punt P de r (si x=1, y=-2). Apliquem d(P, s).