Fórmules i Conceptes Clau de Matemàtiques: Àlgebra, Geometria i Funcions

Sistemes d'Equacions i Problemes

Plantejament d'Equacions

• Velocitat/Temps 1: 60 = x/7; 40 = x - 160 (Solució: 8h, 480km)
• Velocitat/Temps 2: 16 = x/t; -20 = x - 54/t (Solució: x=24, t=5h)
• Velocitat/Temps 3: 30 = x; 40 = x/t - 9. Càlcul: 40 = 30(t-9)/t - 11 (Solució: x=240, t=17)
• Edats (Pare i Nen): 3x = y; 2(x + 12) = y + 12 (Solució: Pare 36, Nen 12)
• Preu (Pilota): x = 2y; 3(y - 3) = x (Solució: Amics 9, Preu 8)
• Discos: x + 5 = y - 5; y + 10 = 2(x - 10)
• Música i Descomptes: x + y = 1500; 1500 - 10x/100 - 15y/100 = 1310
• Aprovats i Suspesos: x + y = 30; (6,5x + 3,2y) / 30 = 5,29
• Peces i Preu: x · y = 540; (x - 1)(y + 6) = 540

Verificació d'Expressions i Arrels

Verificació d'Igualtats

• a) (x + 1)(x + 1) [V]
• b) (x + 7)(x - 7). Si 49 - 40 = 0 [V]
• c) -125 - 125 = -250 [F]
• d) x³ + 1 : x + 1 [F]

Valors de referència: m = 6; x = -2

Descomposició d'Arrels

• Arrel de 10: 3² + 1²
• Arrel de 13: 3² + 2²

Anàlisi de Funcions

Domini, Recorregut i Imatges

• Domini: [-8, 8]
• Recorregut: [-5, 4]
• f(2): -3
• f(5): (4, 0)
• f⁻¹(3): -4
• f⁻¹(-3): 2 i -2

Intervals de Monotonia

• Creixement: [-8, -5] U [-0,5, 6,5]
• Decreixement: [-5, -0,5] U [6,5, 8]

Trigonometria i Geometria

Triangle Rectangle

• sin(40°) = a/b; 0,64 = a/15; a = 9,6
• cos(40°) = c/b; 0,76 = c/15; c = 11,4
• tg(40°) = a/c; 0,83 = 9,6/11,4

Triangle Equilàter

• sin(60°) = a/8; a ≈ 6,88 cm
• Àrea (A): b · a / 2; A = 27,52 cm²

Triangle Isòsceles

• cos(25°) = 0,91 = 15/x; x ≈ 16,48
• tg(25°) = b/15; 0,46 = b/15; b = 6,75
• Perímetre: 16,48(2) + 30 = 62,96 cm
• Àrea (A): b · a / 2; 30 · a / 2; A = 101,25 cm²

Triangle Escalè

• cos(60°) = 0,5 = 10/a; a = 20
• cos(30°) = 0,86 = b/20; b = 17,2
• cos(45°) = 0,71 = b/14,08; b = 10
• cos(45°) = 10/a = 0,71; Hipotenusa ≈ 14,08
• Àrea: 27,2(10) / 2 = 163 cm²

Angles als Quadrants

Angles de referència (en graus):

Inequacions, Intervals i Potències

Sistema d'Inequacions

a) x - 1/3 3/2x - 1 = x4 > -3

Solució: X ∈ R / (-3 x < 4)

Intervals

• (-3, 15/2): X ∈ R / (-3 < x < 15/2)
• (-∞, 7,2): X ∈ R / (-∞ < x < 7,2)
• x 10 (tancat)

Potències

a⁻⁴ = 1/a⁴

x⁰ / x⁻⁴ = 1 / x⁻⁴ = x⁴

Definicions Trigonomètriques (Cercle Unitari)

El Sinus (sin α)

El sinus d'un angle alfa és la divisió entre la segona coordenada del punt i la distància entre el punt i l'origen de coordenades.

Fórmula: sin α = (2a coordenada del punt) / (distància entre el punt i l'origen de coordenades).

El Cosinus (cos α)

El cosinus és la divisió entre la primera coordenada del punt i la distància entre el punt i l'origen de coordenades.

Fórmula: cos α = (1a coordenada del punt) / (distància entre el punt i l'origen de coordenades).

La Tangent (tg α)

La tangent és la divisió entre la segona coordenada del punt i la primera coordenada del punt.

Fórmula: tg α = (2a coordenada) / (1a coordenada).

Logaritmes i les seves Propietats

El logaritme és l'exponent al qual cal elevar la base perquè doni el nombre que estem buscant.

1. Logaritme d'una multiplicació: És la suma dels logaritmes.
2. Logaritme d'una divisió: És la resta dels logaritmes.
3. Logaritme d'una potència: És l'exponent multiplicat pel logaritme de la base.
4. Logaritme d'una arrel: (Falta la definició)

Nombres Reals i Operacions amb Radicals

El Conjunt dels Nombres Reals (R)

El conjunt dels nombres reals (R) està format per tots els nombres racionals i tots els nombres irracionals. És a dir, tots els nombres que poden escriure's en forma decimal, sigui aquesta exacta, periòdica o no periòdica.

Operacions amb Arrels (Radicals)

• Sumar o restar: Només es pot fer amb radicals semblants. Per fer-ho, traiem factor comú el radical corresponent i se sumen o resten els coeficients.
• Multiplicació: Només es pot multiplicar si tenen el mateix índex. Si els radicals no tenen el mateix índex, primer es transformen en radicals equivalents que tinguin el mateix índex.
• Divisió: Dues expressions radicals es poden dividir només si tenen el mateix índex. Si els radicals no tenen el mateix índex, primer cal transformar-los en radicals equivalents que tinguin el mateix índex.

Definició d'Interval

Un interval acotat equival a un segment i un interval no acotat equival a una semirecta.