Fórmulas Esenciales de Trigonometría y Geometría Analítica para Matemáticas Superiores
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Identidades Trigonométricas Fundamentales
- $$\text{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
- $$\text{tg } \alpha = \frac{\text{sen } \alpha}{\cos \alpha}$$
- $$1 + \text{cotg}^2\alpha = \text{cosec}^2\alpha$$
- $$\text{tg}^2 \alpha + 1 = \text{sec}^2\alpha$$
- $$\text{sec } \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$$
Fórmulas de Ángulos Compuestos y Múltiples
Ángulo Suma
- $$\text{sen}(\alpha+\beta) = \text{sen } \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \text{sen } \beta$$
- $$\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \text{sen } \alpha \cdot \text{sen } \beta$$
- $$\text{tg}(\alpha+\beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta}$$
Ángulo Diferencia
- $$\text{sen}(\alpha-\beta) = \text{sen } \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \text{sen } \beta$$
- $$\cos(\alpha-\beta) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \text{sen } \alpha \cdot \text{sen } \beta$$
- $$\text{tg}(\alpha-\beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \cdot \text{tg } \beta}$$
Ángulo Doble
- $$\text{sen } 2\alpha = 2\text{sen } \alpha \cdot \cos \alpha$$
- $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \text{sen}^2 \alpha$$
- $$\text{tg } 2\alpha = \frac{2\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha}$$
Ángulo Mitad
- $$\text{sen } \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$$
- $$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$$
- $$\text{tg } \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$$
Transformaciones a Sumas y Diferencias
- $$\text{sen } \alpha + \text{sen } \beta = 2\text{sen}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$
- $$\text{sen } \alpha - \text{sen } \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \text{sen}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$
- $$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$
- $$\cos \alpha - \cos \beta = -2\text{sen}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \text{sen}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$
Teoremas Fundamentales en Triángulos
Teorema del Seno
$$\frac{a}{\text{sen } \hat{A}} = \frac{b}{\text{sen } \hat{B}} = \frac{c}{\text{sen } \hat{C}}$$
Teorema del Coseno
- $$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \hat{A}$$
- $$b^2 = c^2 + a^2 - 2 \cdot c \cdot a \cdot \cos \hat{B}$$
- $$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \hat{C}$$
Números Complejos: Conversión de Formas
- De Binómica ($a+bi$) a Polar ($r(\cos \theta + i \text{sen } \theta)$): Se calcula el módulo $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ y el ángulo $\theta = \text{arctg}\left(\frac{b}{a}\right)$ (ajustando el cuadrante según los signos de $a$ y $b$).
- De Polar a Binómica: $$z = r \cos \theta + r \text{sen } \theta \cdot i$$
Geometría Analítica: Puntos y Rectas
Alineación de Tres Puntos
Dados $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ y $C(x_3,y_3)$, están alineados si: $$\frac{x_2-x_1}{x_3-x_2} = \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$$
Punto Medio de un Segmento
Para el segmento $AB$ con $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$, el punto medio $M$ es: $$M\left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$$
Simetría de un Punto Respecto a Otro
Si $P(v,w)$ es el punto medio entre $B(x,y)$ y su simétrico $B'(x',y')$, entonces:- $$v = \frac{x+x'}{2} \implies x' = 2v - x$$
- $$w = \frac{y+y'}{2} \implies y' = 2w - y$$
Distancia entre Dos Puntos
La distancia entre dos puntos se calcula mediante el módulo del vector que los une.
Distancia Punto-Recta
Para una recta en forma general $Ax + By + C = 0$ y un punto $(a, b)$: $$\text{Distancia} = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
Ecuaciones de la Recta
Sea un punto $P(x_1, y_1)$ y un vector director $\vec{d} = (d_1, d_2)$.
Forma Vectorial
$$\vec{OX} = \vec{p} + t\vec{d} \implies (x, y) = (x_1, y_1) + t(d_1, d_2)$$
Forma Paramétrica
$$\begin{cases} x = x_1 + t d_1 \\ y = y_1 + t d_2 \end{cases}$$ (Despejando $t$ e igualando se obtiene la forma continua).
Forma Continua
$$\frac{x-x_1}{d_1} = \frac{y-y_1}{d_2}$$
Forma General o Implícita
$$Ax + By + C = 0$$ (Vector normal $\vec{n}(A, B)$, Vector director $\vec{d}(-B, A)$).
Forma Explícita
$$y = mx + n$$ (Donde la pendiente $m = \frac{d_2}{d_1}$).
Operaciones con Vectores
Producto de un Vector por un Escalar
El resultado es otro vector.
Producto Escalar
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)$$
Condición de Ortogonalidad
$$\vec{u} \text{ perpendicular a } \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$
Cálculo del Ángulo entre Dos Vectores
$$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$
Proyección de un Vector sobre Otro
$$\text{Proy}_\vec{v} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$$