Fórmulas Esenciales de Rectas, Circunferencias y Parábolas

Conceptos Clave de Geometría Analítica

La Recta

Pendiente (m): La pendiente de una recta se relaciona con el ángulo de inclinación (θ) respecto al eje x positivo.

m = tgθ

Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad

• Para que dos rectas sean paralelas:

  m₁ = m₂

• Para que dos rectas sean perpendiculares:

  m₁ * m₂ = -1

  

Comprobaciones Geométricas mediante Pendientes

• Comprobación de triángulo rectángulo: Dos pendientes de los lados deben ser recíprocas y de signo contrario (es decir, su producto debe ser -1).

  Ejemplo: y

• Comprobación de un paralelogramo: Se calculan las 4 pendientes de los lados. Si los lados opuestos tienen pendientes iguales, es un paralelogramo.

  Ejemplo: m₁ = m₄ y m₃ = m₂

Ángulo entre Dos Rectas

La tangente del ángulo (Φ) entre dos rectas con pendientes m₁ y m₂ se calcula con la fórmula:

tgΦ =

División de un Segmento en una Razón (r) Dada

Para encontrar un punto que divide un segmento en una razón r:

r =

Punto Medio de un Segmento

Las coordenadas del punto medio de un segmento con extremos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son:

y

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Punto-Pendiente: Permite encontrar la ecuación de una recta si se conoce un punto P₁(x₁, y₁) y la pendiente m.

  Fórmula: y - y₁ = m(x - x₁)

  Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P₁(3,2) con pendiente igual a 2.

  

  

  La ecuación final puede quedar en forma general, como 3x + 2y - 5 = 0.

• Ecuación que Pasa por Dos Puntos: Permite encontrar la ecuación de una recta si se conocen dos puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂). Primero se calcula la pendiente y luego se usa la forma punto-pendiente.

  Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por P₁(5,2) y P₂(4,-3).

  

  La ecuación final puede quedar en forma general, como 3x + 2y - 5 = 0.

• Ecuación Simétrica: Se utiliza cuando se conocen las intersecciones de la recta con los ejes x (a, 0) y y (0, b).

  Fórmula:

  Donde a es la abscisa al origen (intersección con eje x) y b es la ordenada al origen (intersección con eje y).

• Ecuación General de la Recta: La forma general es Ax + By + C = 0.

  A partir de ella, se puede obtener la forma pendiente-ordenada al origen:

  By = -Ax - C

  y = (-A/B)x - (C/B)

  Comparando con y = mx + b, tenemos:

  m = -A/B (pendiente)

  b = -C/B (ordenada al origen o intersección con el eje y)

  

  

  Intersección con el eje y (ordenada al origen):

  Forma Pendiente-Ordenada al Origen: y = mx + b

Distancia entre Dos Puntos

La distancia entre dos puntos P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) se calcula con la fórmula:

La Circunferencia

• Circunferencia con centro en el origen (0,0):

  Ecuación: x² + y² = r²

• Circunferencia con centro fuera del origen (h,k):

  Ecuación Ordinaria:

  Ecuación General: (x² + y² + Dx + Ey + F = 0)

Encontrar la Ecuación de la Circunferencia que Pasa por Tres Puntos

Si te dan los puntos A(3,4), B(-1, -4), C(5,2) y te piden encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos, puedes usar la ecuación general (x² + y² + Dx + Ey + F = 0) y seguir estos pasos:

1. Sustituir cada punto en la ecuación general. Esto generará un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (D, E, F).

   Ejemplo con el punto A(3,4):

   3² + 4² + D(3) + E(4) + F = 0

   9 + 16 + 3D + 4E + F = 0

   3D + 4E + F = -25 (Esta es la primera ecuación del sistema)

2. Repetir el mismo procedimiento con los puntos B y C para obtener las otras dos ecuaciones del sistema.

3. Resolver el sistema de tres ecuaciones para encontrar los valores de D, E y F. Un método común es la sustitución o eliminación.

   Ejemplo (siguiendo la lógica del texto original):

   • Despejar F de la primera ecuación: F = -25 - 3D - 4E.
   • Sustituir F en la segunda ecuación (la obtenida con el punto B) y simplificar para obtener una ecuación con solo D y E.
   • Sustituir F en la tercera ecuación (la obtenida con el punto C) y simplificar para obtener otra ecuación con solo D y E.
   • Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (D y E). Resolver este sistema.
   • Una vez que tengas los valores de D y E, sustituirlos en la ecuación donde despejaste F para encontrar su valor.

4. Sustituir los valores encontrados de D, E y F en la ecuación general x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Esta es la ecuación de la circunferencia.

La Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz.

Tipos de Parábolas con Vértice en el Origen (0,0)

1. Abre a la derecha:

   

   • Ecuación: y² = 4px
   • Foco: F = (p, 0)
   • Directriz D: x = -p
   • Eje de simetría: y = 0 (Eje X)

2. Abre a la izquierda:

   

   • Ecuación: y² = -4px
   • Foco: F = (-p, 0)
   • Directriz D: x = p
   • Eje de simetría: y = 0 (Eje X)

3. Abre hacia arriba:

   

   • Ecuación: x² = 4py
   • Foco: F = (0, p)
   • Directriz D: y = -p
   • Eje de simetría: x = 0 (Eje Y)

4. Abre hacia abajo:

   

   • Ecuación: x² = -4py
   • Foco: F = (0, -p)
   • Directriz D: y = p
   • Eje de simetría: x = 0 (Eje Y)

Tipos de Parábolas con Vértice fuera del Origen (h,k)

5. Abre a la derecha:

   

   • Ecuación: (y - k)² = 4p(x - h)
   • Foco: F = (h + p, k)
   • Directriz D: x = h - p
   • Eje de simetría: y = k

6. Abre a la izquierda:

   

   • Ecuación: (y - k)² = -4p(x - h)
   • Foco: F = (h - p, k)
   • Directriz D: x = h + p
   • Eje de simetría: y = k

7. Abre hacia arriba:

   

   • Ecuación: (x - h)² = 4p(y - k)
   • Foco: F = (h, k + p)
   • Directriz D: y = k - p
   • Eje de simetría: x = h

8. Abre hacia abajo:

   

   • Ecuación: (x - h)² = -4p(y - k)
   • Foco: F = (h, k - p)
   • Directriz D: y = k + p
   • Eje de simetría: x = h