Fórmulas Esenciales de Probabilidad, Ecuaciones e Intervalos de Confianza
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Probabilidad
La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. A continuación, se presentan algunas de sus fórmulas fundamentales:
Probabilidad Condicionada
Se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento B, sabiendo que ya ha ocurrido un evento A. Se expresa como:
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
Teorema de Bayes
Permite calcular la probabilidad de un evento A, dado que ha ocurrido un evento B, utilizando información previa. Se expresa como:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Probabilidad Total
Se utiliza para calcular la probabilidad de un evento R que puede ocurrir a través de diferentes caminos o eventos mutuamente excluyentes (A, B, C). Se expresa como:
P(R) = P(A) · P(R|A) + P(B) · P(R|B) + P(C) · P(R|C)
Ecuaciones y Resolución de Polinomios
Esta sección aborda métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones polinómicas, centrándose en la identificación de sus características para aplicar la técnica adecuada.
Ecuación de Segundo Grado (ax² + bx + c = 0):
Si la expresión es de la forma ax² + bx + c, se trata de una ecuación de segundo grado. Para resolverla, se puede utilizar la fórmula general o métodos de factorización.
Ejemplo: Si x es una raíz, entonces x=0 es una posible solución si c=0.
Ecuación de Primer Grado (ax + bx = 0):
Si la expresión es de la forma ax + bx, se puede sacar factor común x para simplificarla a x(a + b) = 0, lo que lleva a una ecuación de primer grado o a x=0 como solución.
Ecuación Cuadrática Incompleta (ax² + C = 0):
Si la expresión es de la forma ax² + C, se iguala a cero y se despeja x extrayendo la raíz cuadrada.
Ejemplos de Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas
x² - 16 = 0
x² = 16
x = √16
x = ±4
4x² - 16 = 0
4x² = 16
x² = 16 / 4
x² = 4
x = √4
x = ±2
Intervalos de Confianza
Los intervalos de confianza son una herramienta estadística para estimar un parámetro poblacional desconocido a partir de una muestra. Permiten establecer un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre el verdadero valor del parámetro.
Conceptos Fundamentales
- Media Muestral (X̄): Se distribuye normalmente si la población es normal o si el tamaño de la muestra es grande (por el Teorema Central del Límite).
X̄ ~ N(μ; σ/√n)
Proporción Muestral (p̂): Se distribuye normalmente para muestras grandes.p̂ ~ N(p; √(p·q / n))
Desviación Típica (s o σ): Medida de dispersión de los datos.q: Complemento de la proporción, q = 1 - p.Nivel de Confianza (1 - α): La probabilidad de que el intervalo contenga el verdadero parámetro poblacional.Obtención de Parámetros del Intervalo
A partir de un intervalo de confianza dado [Límite Inferior (LI), Límite Superior (LS)], se pueden obtener los siguientes parámetros:
- Estimador Puntual (Media o Proporción):
Estimador = (LI + LS) / 2
Margen de Error (E):E = (LS - LI) / 2
Cálculo del Intervalo de Confianza para la Media (μ)
El intervalo de confianza para la media poblacional (μ) se calcula como:
IC(μ) = (X̄ - Zα/2 · σ/√n , X̄ + Zα/2 · σ/√n)
Donde Zα/2 es el valor crítico de la distribución normal estándar para un nivel de confianza de 1 - α.
Cálculo del Tamaño de la Muestra (n) para la Media
A partir del margen de error (E), se puede despejar el tamaño de la muestra necesario:
E = Zα/2 · σ/√n
√n · E = Zα/2 · σ
√n = (Zα/2 · σ) / E
n = ((Zα/2 · σ) / E)²
Cálculo del Intervalo de Confianza para la Proporción (p)
El intervalo de confianza para la proporción poblacional (p) se calcula como:
IC(p) = (p̂ - Zα/2 · √(p·q / n) , p̂ + Zα/2 · √(p·q / n))
Cálculo del Tamaño de la Muestra (n) para la Proporción
A partir del margen de error (E), se puede despejar el tamaño de la muestra necesario:
E = Zα/2 · √(p·q / n)
E / Zα/2 = √(p·q / n)
(E / Zα/2)² = p·q / n
n · (E / Zα/2)² = p·q
n = (p·q) / (E / Zα/2)²
Probabilidad del Valor Crítico Z
La probabilidad de que una variable aleatoria Z (estandarizada) sea menor que el valor crítico Zα/2 es:
P(Z < Zα/2) = 1 - α/2