Fórmulas Esenciales de Geometría Analítica y Clasificación de Funciones Matemáticas
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Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica
Cálculo de la Pendiente de una Recta
La pendiente ($m$) se calcula mediante la siguiente fórmula:
\[m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
Cálculo del Punto Medio
El punto medio entre dos coordenadas $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es:
\[\text{Punto Medio} = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]
Distancia entre Dos Puntos
La distancia ($d$) entre dos puntos se determina usando el teorema de Pitágoras:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
Nota: En el documento original se observaba un error en la fórmula de distancia, se ha corregido para reflejar la fórmula estándar.
Ecuación de la Recta (Punto-Pendiente)
La ecuación de una recta dada un punto $(x_1, y_1)$ y su pendiente ($m$) es:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]
Relaciones entre Rectas: Paralelismo y Perpendicularidad
Para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares, es fundamental despejar la variable $y$ para obtener la pendiente correspondiente ($m$).
Observación importante: Al despejar $y$, su coeficiente no puede quedar negativo; sin embargo, el coeficiente de $x$ (la pendiente) sí puede ser negativo.
Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:
- Condición: $m_1 = m_2 \implies L_1 \parallel L_2$
Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es $-1$:
- Condición: $m_1 \cdot m_2 = -1 \implies L_1 \perp L_2$
Clasificación de Funciones Matemáticas Comunes
A continuación, se presenta una clasificación de funciones con ejemplos representativos:
1. Función Lineal
Representa una línea recta con pendiente no nula.
- Ejemplo: $F(x) = x + 5$
2. Función Constante
El valor de la función es el mismo para cualquier valor de $x$. Gráficamente es una línea horizontal.
- Ejemplo: $F(x) = 5$
- Nota: En este caso, el valor de $y$ es constante, no necesariamente igual a $x$.
3. Función Identidad
La función donde la salida es igual a la entrada.
- Ejemplo: $F(x) = x$
- Nota: Es un caso particular de la función lineal.
4. Función Valor Absoluto
La función que devuelve el valor absoluto de la variable.
- Ejemplo: $F(x) = |x - 3|$
- Para su representación gráfica, se recomienda escoger valores mayores y menores que el valor que anula la expresión dentro del valor absoluto (en este caso, $x=3$).
5. Función Exponencial
La variable independiente se encuentra en el exponente. Generalmente, se analizan con una base mayor que 1 para un crecimiento.
- Ejemplo: $F(x) = 2^x$
- Se sugiere evaluar con un conjunto de valores (ej. 7 puntos) para trazar la curva.
6. Función Exponencial Decreciente
La función exponencial donde la base es un número entre 0 y 1.
- Ejemplo: $F(x) = (\frac{1}{2})^x$
- Usualmente se presenta la base como fracción y se evalúa con un conjunto de valores (ej. 7 puntos).
7. Función Cuadrática
La función polinómica de segundo grado, cuya gráfica es una parábola.
- Ejemplo: $F(x) = x^2$
- Para su trazado, se reemplaza $x$ con valores seleccionados (ej. 7 puntos) para calcular los correspondientes valores de $F(x)$.