Fórmulas Esenciales de Álgebra y Geometría: Binomios, Fracciones y Triángulos

Fórmulas de Álgebra: Productos Notables

Los productos notables son expresiones algebraicas recurrentes cuyo resultado puede obtenerse directamente, sin necesidad de realizar la multiplicación completa.

Binomio al cuadrado

Corresponde al cuadrado de la suma o la diferencia de dos términos.

• Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• Cuadrado de una resta: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Binomio al cubo

El cubo de la suma de dos términos se desarrolla de la siguiente manera:

Fórmula: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Suma por diferencia

El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de sus cuadrados.

Fórmula: (a + b)(a - b) = a2 - b2

Ejemplo:

(2x + 5)(2x - 5) = (2x)2 - 52 = 4x2 - 25

Términos semejantes

Para simplificar una expresión con términos semejantes, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal (la parte de las letras y sus exponentes).

Aritmética: Fracciones y Decimales

Convertir número mixto a fracción

Para transformar un número mixto en una fracción impropia, se multiplica el número entero por el denominador y se le suma el numerador. Este resultado se convierte en el nuevo numerador, mientras que el denominador original se mantiene.

Convertir decimal periódico a fracción

Los pasos para transformar un número decimal periódico en una fracción son los siguientes:

1. En el numerador, se escribe el número completo sin la coma decimal y se le resta la parte que no se repite (la parte entera junto con los decimales no periódicos).
2. En el denominador, se coloca un 9 por cada cifra que compone el período (los números bajo la línea). Si hay dos cifras periódicas, se coloca 99, y así sucesivamente.

Resolución de Problemas Matemáticos

Problema de proporciones

Enunciado: Una ONG ha recaudado $500.000.000 en la región de O’Higgins para comprar juguetes destinados a niños necesitados. Si lo recaudado en la sexta región corresponde a 5/13 del total recaudado en Chile, ¿cuánto se espera recaudar en total a nivel nacional?

Solución: $1.300.000.000

Geometría: Ángulos de un Triángulo

Un principio fundamental es que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo siempre es igual a 180°.

Calcular el tercer ángulo

Si conoces la medida de dos ángulos de un triángulo, puedes hallar el tercero sumando los dos ángulos conocidos y restando ese total de 180°. La diferencia será la medida del ángulo restante.

Ángulos en un triángulo isósceles

Un triángulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales. El ángulo desigual es el que se forma por la unión de los dos lados iguales.

• Si conoces el ángulo desigual: réstalo de 180° y divide el resultado por dos. Así obtendrás la medida de cada uno de los dos ángulos iguales.
• Si conoces uno de los dos ángulos iguales: multiplícalo por dos y resta el total de 180° para encontrar la medida del ángulo desigual.

Ángulos en un triángulo equilátero

En un triángulo equilátero, los tres lados y los tres ángulos son iguales. Por lo tanto, cada ángulo mide siempre 60°, ya que 180° dividido por 3 es 60°.