Fórmulas y Conceptos Fundamentales de Derivadas y Límites

Reglas Básicas de Derivación

A continuación, se presentan las fórmulas para derivar funciones comunes:

• Regla del producto: Si y = f(x) * g(x), entonces y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• Regla del cociente: Si y = f(x) / g(x), entonces y' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²
• Regla de la potencia: Si y = [f(x)]ⁿ, entonces y' = n * [f(x)]^(n-1) * f'(x) (Ejemplo: para y = x³, y' = 3x²)
• Raíz cuadrada: Si y = √f(x), entonces y' = f'(x) / (2√f(x))
• Función exponencial (base a): Si y = a^[f(x)], entonces y' = a^[f(x)] * ln(a) * f'(x) (Ejemplo: para y = 3ˣ, y' = 3ˣ * ln(3))
• Función exponencial (base e): Si y = e^[f(x)], entonces y' = e^[f(x)] * f'(x) (Ejemplo: para y = eˣ, y' = eˣ)
• Función potencial-exponencial: Si y = [f(x)]^[g(x)], entonces y' = g(x) * [f(x)]^(g(x)-1) * f'(x) + [f(x)]^[g(x)] * ln(f(x)) * g'(x) (Ejemplo: para y = (sin x)², aplicar regla de la potencia o esta regla si fuera y = (sin x)^x)
• Logaritmo base a: Si y = logₐ(f(x)), entonces y' = f'(x) / (f(x) * ln(a)) o y' = (f'(x) / f(x)) * logₐ(e)
• Logaritmo natural (neperiano): Si y = ln(f(x)), entonces y' = f'(x) / f(x)
• Seno: Si y = sin(f(x)), entonces y' = f'(x) * cos(f(x))
• Coseno: Si y = cos(f(x)), entonces y' = -f'(x) * sin(f(x))
• Tangente: Si y = tan(f(x)), entonces y' = f'(x) / cos²(f(x)) o y' = f'(x) * sec²(f(x))
• Arcocoseno: Si y = arccos(f(x)), entonces y' = -f'(x) / √(1 - [f(x)]²)
• Arcoseno: Si y = arcsin(f(x)), entonces y' = f'(x) / √(1 - [f(x)]²)
• Arcotangente: Si y = arctan(f(x)), entonces y' = f'(x) / (1 + [f(x)]²)

Ejemplo: Cálculo de Derivada por Definición

Vamos a calcular la derivada de la función f(x) = 4 / (2x - 3) utilizando la definición de derivada.

Fórmula de la Definición

La derivada de una función f(x) se define como:

f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Aplicación a f(x) = 4 / (2x - 3)

Primero, evaluamos f(x + h):

f(x + h) = 4 / [2(x + h) - 3] = 4 / (2x + 2h - 3)

Ahora, sustituimos en la fórmula del límite:

f'(x) = lim (h → 0) [ (4 / (2x + 2h - 3)) - (4 / (2x - 3)) ] / h

Tomamos un común denominador en el numerador:

f'(x) = lim (h → 0) [ (4(2x - 3) - 4(2x + 2h - 3)) / ((2x + 2h - 3)(2x - 3)) ] / h

Desarrollamos el numerador:

f'(x) = lim (h → 0) [ (8x - 12 - 8x - 8h + 12) / ((2x + 2h - 3)(2x - 3)) ] / h

Simplificamos términos semejantes en el numerador:

f'(x) = lim (h → 0) [ -8h / ((2x + 2h - 3)(2x - 3)) ] / h

Aplicamos la división de fracciones (o "ley de la tortilla"):

f'(x) = lim (h → 0) -8h / [ h * (2x + 2h - 3)(2x - 3) ]

Eliminamos la h del numerador y denominador (ya que h → 0 pero h ≠ 0):

f'(x) = lim (h → 0) -8 / [ (2x + 2h - 3)(2x - 3) ]

Evaluamos el límite haciendo h = 0:

f'(x) = -8 / [ (2x + 2(0) - 3)(2x - 3) ]

f'(x) = -8 / [ (2x - 3)(2x - 3) ]

Resultado

La derivada de f(x) = 4 / (2x - 3) es:

f'(x) = -8 / (2x - 3)²

Cálculo de Rectas Tangente y Normal a una Curva

Para hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva y = f(x) en un punto de tangencia (a, f(a)):

1. Calcular la derivada: Encuentra la función derivada f'(x).
2. Calcular la pendiente de la tangente: Evalúa la derivada en el punto x = a para obtener la pendiente de la recta tangente: m_t = f'(a).
3. Ecuación de la recta tangente: Usa la forma punto-pendiente: y - f(a) = m_t * (x - a).
4. Calcular la pendiente de la normal: La recta normal es perpendicular a la tangente. Su pendiente es m_n = -1 / m_t (siempre que m_t ≠ 0).
5. Ecuación de la recta normal: Usa la forma punto-pendiente: y - f(a) = m_n * (x - a).

Ejemplo Breve

Consideremos la curva y = x³. Se pide hallar las rectas tangente y normal en los puntos donde la pendiente es 3.

1. Derivada: f'(x) = 3x²

2. Encontrar 'a': Queremos que la pendiente f'(a) sea 3.
f'(a) = 3a² = 3
a² = 1
a = ±1

Hay dos puntos: (1, 1³) = (1, 1) y (-1, (-1)³) = (-1, -1).

3. Para el punto (1, 1):
- Pendiente tangente: m_t = f'(1) = 3(1)² = 3
- Recta tangente: y - 1 = 3(x - 1) => y = 3x - 2
- Pendiente normal: m_n = -1/3
- Recta normal: y - 1 = (-1/3)(x - 1) => y = -x/3 + 4/3

4. Para el punto (-1, -1):
- Pendiente tangente: m_t = f'(-1) = 3(-1)² = 3
- Recta tangente: y - (-1) = 3(x - (-1)) => y + 1 = 3(x + 1) => y = 3x + 2
- Pendiente normal: m_n = -1/3
- Recta normal: y - (-1) = (-1/3)(x - (-1)) => y + 1 = (-1/3)(x + 1) => y = -x/3 - 4/3

Operaciones y Límites con Infinito y Cero

A continuación se muestran algunos resultados comunes al operar con límites que involucran cero (0) e infinito (∞). Se asume que 'k' es un número real distinto de cero.

• Cero partido por un número (k ≠ 0):
  0 / k = 0
• Un número (k ≠ 0) partido por cero (el resultado es infinito, el signo depende de los signos de k y del cero al que se tiende):
  k / 0 → ±∞
• Un número (k) partido por infinito:
  k / ∞ = 0
• Infinito partido por un número (k ≠ 0):
  ±∞ / k = ±∞ (el signo depende de los signos de ∞ y k)
• Cero partido por infinito:
  0 / ∞ = 0
• Infinito partido por cero (el resultado es infinito, el signo depende de los signos):
  ±∞ / 0 → ±∞
• Cero partido por cero (Indeterminación):
  0 / 0 (Indeterminado)
• Infinito partido por infinito (Indeterminación):
  ∞ / ∞ (Indeterminado)
• Un número (k ≠ 0) elevado a cero:
  k⁰ = 1
• Cero elevado a cero (Indeterminación):
  0⁰ (Indeterminado)
• Infinito elevado a cero (Indeterminación):
  ∞⁰ (Indeterminado)
• Cero elevado a un número positivo (k > 0):
  0ᵏ = 0
• Un número (k) elevado a infinito:
  Si |k| > 1, k^∞ → ∞ (signo depende de k). Si |k| < 1, k^∞ → 0. Si k = 1, 1^∞ es Indeterminado.

Nota: Las indeterminaciones requieren métodos específicos (como la regla de L'Hôpital, factorización, conjugados, etc.) para resolver el límite.