Fórmulas y Conceptos Clave de Álgebra y Cálculo

Álgebra Lineal

• Intersección e Importancia en Traspuesta: Intersección, Importancia en Traspuesta.
• Suma de Rangos: Dim(s+t) = dims + dim t - dim(s∩t)
• Aplicaciones Lineales:
  • V => W inyectiva (rango f = dimensión V, dimensión imagen f = 0)
  • Sobreyectiva (rango f = dimensión W)
  • Isomorfismo, Biyectiva (rango f = Dimensión W = dimensión V)
  • Dimensión V = dimensión kerf (núcleo a la derecha) + dimensión Imf (imagen a la izquierda)
• Diagonalización de Matrices:
  • n - rg (A - λIn) = k
  • D = P^(-1) · A · P => A⁽ⁿ⁾ = P · D⁽ⁿ⁾ · P^(-1)
• Ortogonalidad:
  • cos θ = <u, v> / (||u|| · ||v||)
  • Coordenadas de un vector en una base: v = (<v, u1> / ||u1||², ...) ↓B
  • Base Ortonormal:
    • W1 = U1 = e1 / ||e1||
    • W2 = e2 - (e2 · U1)U1
    • U2 = W2 / ||W2||
  • Subespacio ortogonal: sacar bases y multiplicar (xyz)
  • Proyección Ortogonal:
    • Bases del subespacio, y aplicar proyección ↓F(V)
    • U = <u, v1> / ||v1|| + <u, v2> / ||v2||

Cálculo

• Identidades Trigonométricas:
  • y = x - ( )
  • cos(a+b) = cos a * cos b - sen a * sen b
  • sen (a+b) = sen a * cos b + cos a * sen b
  • sen²x + cos²x = 1
• Paridad de Funciones:
  • Par: f(-x) = f(x)
• Aproximaciones:
  • 1 - cos x ≈ x²/2
  • log(1 + x) ≈ x
  • (1+ f(x))^p - 1 ≈ p*f(x)
  • e^f(x) - 1 ≈ f(x)
  • b^f(x) - 1 ≈ f(x)*log b (b>0)
  • senh x ≈ x
  • cosh x ≈ x²/2
  • (k + x)^x - k^x ≈ x²/k
• Infinitésimos:
  • n! ≈ e^-n * nⁿ √(2πn)
  • Orden de infinitésimos: n^an >> bⁿ >> n^c >> log n (c>0; b>1)
• Derivadas:
  • lim _h->0 (f(x₀+h) - f(x₀)) / h
  • x = a + h: f'(a) = lim _x->a (f(x) - f(a)) / (x - a)
  • Reglas de Derivación:
    • √(f(x)) => 1 / (2√(f(x))) · f'(x)
    • e^f(x) => e^f(x) · f'(x)
    • a^f(x) => a^f(x) · Ln(a) · f'(x)
    • x^x => x^x (1 + ln x)
    • x^a => a · x^(a-1)
    • Ln f(x) => 1 / f(x) · f'(x)
    • tg x => 1 / cos²x · f'(x)
    • cotg x => -1 / sen²x · f'(x)
    • arcsen f(x) => 1 / √(1-f(x)²) · f'(x)
    • arccos f(x) => -1 / √(1-f(x)²) · f'(x)
    • arctg f(x) => 1 / (1+f(x)²) · f'(x)
    • senh x => cosh x
    • cosh x => senh x
    • tgh x => 1 / cosh²x = 1 - tgh²x
    • argsenh x => 1 / √(x²+1)
    • argcosh x => 1 / √(x²-1)
    • argtgh x => 1 / (1-x²)
• Series de Taylor: (si es distinto de 0, x = y + n)
  • e^x => 1 + x + x²/2! + ...
  • sen x => x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...
  • cos x => 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...
  • tg x => x + x³/3 + 2x⁵/15 + 17x⁷/315 + ...
  • arctg x => x - x³/3 + x⁵/5 - ...
  • ln(1+x) => x - x²/2 + x³/3 - ...
  • 1 / (1-x) => 1 + x + x² + ...
  • senh x => x + x³/3! + x⁵/5! + ...
  • cosh x => 1 + x²/2! + x⁴/4! + ...
  • tgh x => x - x³/3 + 2x⁵/15 - 17x⁷/315 + ...
  • arctgh x => x + x³/3 + x⁵/5 + ...
  • (1+x)ⁿ => 1 + nx + n(n-1)x²/2! + ...
• Integrales:
  • ∫1/f(x) · f'(x) dx = ln|f(x)| + C
  • ∫a^f(x) · f'(x) dx = a^f(x) / ln(a) + C
  • ∫sen f(x) · f'(x) dx = -cos f(x) + C
  • ∫cos f(x) · f'(x) dx = sen f(x) + C
  • ∫1/cos² f(x) · f'(x) dx = tan f(x) + C
  • ∫1/sen² f(x) · f'(x) dx = -cotan f(x) + C
  • ∫1/√(1- f(x)²) · f'(x) dx = arcsen f(x) + C
  • ∫1/(1+f(x)²) · f'(x) dx = arctan f(x) + C
  • ∫sinh f(x) · f'(x) dx = cosh f(x) + C
  • ∫cosh f(x) · f'(x) dx = sinh f(x) + C
  • ∫1/sinh² f(x) · f'(x) dx = -cotgh f(x) + C
  • ∫1/cosh² f(x) · f'(x) dx = tgh f(x) + C
  • ∫1/√(f(x)²+1) · f'(x) dx = argsinh f(x) + C
  • ∫1/√(f(x)²-1) · f'(x) dx = argcosh f(x) + C
  • ∫1/(1-f(x)²) · f'(x) dx = argtgh f(x) + C
  • ∫tan x dx = -log(cos x) + C
  • ∫arcsen x dx = √(1-x²) + x · arcsen x + C
  • ∫arccos x dx = x · arccos x - √(1-x²) + C
  • ∫arctan x dx = x · arctan x - 1/2 ln(x²+1) + C
• Volumen y Área de Superficies de Revolución:
  • V = π ∫_a^b f(x)² dx
  • A = 2π ∫_a^b |f(x)|√(1+ f'(x)²) dx
• Integración por Partes: ∫u dv = uv - ∫v du
• Teorema Fundamental del Cálculo:
  • F = ∫f(t) dt => ∫_a(x)^b(x) f(t) dt = f(b(x)) · b'(x) - f(a(x)) · a'(x)
• Análisis de Funciones: Dominio, Cortes con los ejes, Simetría, Asíntotas, Puntos críticos, Crecimiento y decrecimiento, Extremos relativos y absolutos, Puntos de inflexión, Gráfica.
• Teoremas:
  • Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ signo f(b), entonces existe c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0.
  • Weierstrass: Si f es continua en [a,b], entonces f alcanza un máximo y un mínimo absoluto en el intervalo.
  • Rolle: Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), y f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a,b) tal que f'(c) = 0.
  • Lagrange (Valor Medio): Si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe c ∈ (a,b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
• Métodos de Integración: Regla de Barrow.
• Indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞ (no tienen sentido).