Formulario de Matemáticas: Números, Ecuaciones y Estadística

Formulario de Matemáticas

Números reales:

• No racionales:

  

  

• Racionales (Q):
  • Fraccionarios: 8'92, 7/11, -87/5
  • Enteros (Z):
    • Negativos: -13, -48, -24/6
    • Naturales (IN): 0, 7, 15

Intervalos y semirrectas:

• Abierto: (a, b) = {x / a < x < b}
• Cerrado: [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}
• Semiabierto: [a, b) = {x / a ≤ x < b}
• Menor que: (-∞, a) = {x / x < a}
• Menor o igual que: (-∞, a] = {x / x ≤ a}
• Mayor que: (a, ∞) = {x / x > a}
• Mayor o igual que: [a, ∞) = {x / x ≥ a}

Raíz n-ésima:

ⁿ√a = b si bⁿ = a

Forma exponencial de radicales:

ⁿ√a = a^1/n

^m√aⁿ = a^n/m

Propiedades de radicales:

• Simplificar:
• Sacar factor fuera de la raíz:
• Juntar 2 radicales:
• Potencia de un radical:
• Raíces de raíces:

Racionalización de denominadores:

Error absoluto y relativo:

• Absoluto: |valor real - valor aproximado|
• Relativo: |absoluto / real|

Teorema del resto:

P(x) = (x - a) · C(x) + r

Ecuaciones de 2º grado:

• Completas: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

  

• Incompletas:

  • Si ax² + bx = 0: x₁ = 0, x₂ = -b/a

    

    

  • Si ax² + c = 0: x = ±√(-c/a)

Ley de Laplace:

P(S) = número de casos favorables a S / número de casos posibles

Ecuaciones bicuadradas:

Ecuaciones de tipo (..) · (..) · (..) = 0:

(x - 2) · (x + 4) · (2x - 5) = 0 → (x - 2 = 0) → *x₁ = 2* ; (x + 4 = 0) → *x₂ = -4* ; (2x - 5 = 0) → *x₃ = 5/2*

Sistemas de ecuaciones:

• Sustitución: *Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra.*
• Igualación: *Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados.*
• Reducción: *Se preparan las ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas; al restarlas, se obtiene una ecuación sin esa incógnita.*

Inecuaciones:

Ejemplo: 2x + 4 > 0. Solución = 5 porque 2 · 5 + 4 es mayor que 0.

Resolución algebraica de una inecuación:

2x + 4 > 0 → 2x > -4 → x > -2. Soluciones: (x > -2), (-2, +∞)

Dominio y recorrido:

• Dominio (IR): (-∞, +∞)
• Recorrido: (y)

Dominio y expresión analítica:

• f(x) = 1/(x+3): El dominio son todos los números reales salvo -3.

  

• f(x) = √x²-4: Los valores x² > 4

  

Tasa de variación media:

T.V.M = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Tipos de funciones lineales:

• y = mx
• y = n
• y = mx + n

Parábola y = x²:

El vértice está en (0, 0).

Funciones cuadráticas:

y = ax² + bx + c. Abscisa del vértice: p = -b / 2a

Funciones de proporcionalidad inversa:

y = k / x. Su dominio es (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Funciones radicales:

• f(x) = √x parte de (0,0) →
• f(x) = -√x parte de (0,0) ←
• f(x) = √-x no parte de (0,0)
• f(x) = -√-x no parte de (0,0)

Probabilidad de un suceso:

P(A) = casos favorables / casos posibles. Si son contrarios, su probabilidad es 1.

Comprobación de si 3 puntos están alineados:

Ecuaciones de rectas:

• Bisectrices:
  • 1º cuadrante: y = x
  • 2º cuadrante: y = -x
• Rectas que pasan por el origen: y = nx
• Paralelas al eje: y = k o x = k

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos:

Pendiente de una recta perpendicular a otra:

Distancia entre 2 puntos:

Ecuación de la circunferencia:

Ecuación para saber el radio:

Punto medio de un segmento:

x = (x₁ + x₂) / 2 ; y = (y₁ + y₂) / 2

Relaciones trigonométricas:

(sen α)² + (cos α)² = 1 ; sen α / cos α = tg α

Sen α:

Longitud del cateto opuesto a α / longitud de la hipotenusa

Cos α:

Longitud del cateto contiguo a α / hipotenusa

Tg α:

Longitud del cateto opuesto a α / longitud del cateto contiguo a α

Razones trigonométricas:

• 30º: sen: 1/2 ; cos:

  ; tg:

• 45º: sen:

  ; cos:

  ; tg: 1

• 60º: sen:

  ; cos: 1/2 ; tg:

Teorema del cateto:

b² = a · m

Teorema de la altura:

h² = m · n

Propiedades de probabilidad:

• Imposible: P(A) = 0
• Seguro: P(A) = 1
• Otro suceso: 0 ≤ P(A) ≤ 1
• Suma de probabilidades: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Semejanza de triángulos rectángulos:

Son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos agudos.

Criterios de semejanza de triángulos:

• 1º: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales.
• 2º: Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales: a'/a = b'/b = c'/c.
• 3º: Si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales: Â = Â' y b'/b = c'/c.

Teorema de Tales:

AB / A'B' = BC / B'C' = OA / OA'

Escala:

Cociente entre la longitud de la reproducción y la longitud real. 1:200 significa que 1 cm = 200 cm reales.

Función exponencial:

Parámetros estadísticos:

• Media: x̄ = (∑x_i) / n
• Varianza: σ² = (∑(x_i - x̄)²) / n
• Desviación típica: σ = √σ²
• Coeficiente de variación: C.V. = σ / |x̄|

Medidas de posición:

• Mediana (Me): Es el valor que ocupa el lugar central.
• Cuartiles:
  • Inferior (Q₁): ← 25%, 75% →
  • Superior (Q₃): ← 75%, 25% →
• Centil o percentil:
  • Centil: C_i
  • Percentil: P_i

Frecuencias acumuladas:

Relaciones entre sucesos:

• Unión: A ∪ B
• Intersección: Formado por los elementos que están en A y B: A ∩ B
• Incompatibles: No tienen en común ningún suceso: A ∩ B = ∅

• Contrario: Cuando entre ambos se reparten los elementos del espacio muestral: A ∪ A' = E

  y A ∩ A' = ∅

Composición de experiencias independientes:

Composición de experiencias dependientes:

Variaciones con repetición:

Variaciones ordinarias:

Permutaciones:

Combinaciones: