Formulario Esencial: Trigonometría y Geometría Analítica

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Suma y Diferencia de Ángulos

• Seno de la suma: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
• Coseno de la suma: cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β
• Tangente de la suma: tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
• Nota: Las fórmulas para la diferencia (α - β) se obtienen sustituyendo β por -β y usando las identidades de ángulos negativos.

Ángulo Doble

• Seno del ángulo doble: sen(2α) = 2 sen α cos α
• Coseno del ángulo doble: cos(2α) = cos²α − sen²α
• Tangente del ángulo doble: tan(2α) = (2 tan α) / (1 − tan²α)

Ángulo Mitad

• Seno del ángulo mitad: sen(α/2) = ±√[(1 − cos α) / 2]
• Coseno del ángulo mitad: cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]
• Nota: El signo ± depende del cuadrante en el que se encuentre α/2.

Transformaciones de Sumas/Diferencias en Productos (Fórmulas de Simpson)

• sen A + sen B = 2 sen((A + B)/2) cos((A − B)/2)
• sen A − sen B = 2 cos((A + B)/2) sen((A − B)/2)
• cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
• cos A − cos B = −2 sen((A + B)/2) sen((A − B)/2)

Reducción al Primer Cuadrante y Relaciones entre Ángulos

• Ángulos opuestos (-α):
  • sen(−α) = −sen α
  • cos(−α) = cos α
  • tan(−α) = −tan α
• Ángulos suplementarios (180° − α o π − α):
  • sen(180° − α) = sen α
  • cos(180° − α) = −cos α
  • tan(180° − α) = −tan α
• Ángulos complementarios (90° − α o π/2 − α):
  • sen(90° − α) = cos α
  • cos(90° − α) = sen α
  • tan(90° − α) = cot α
• Ángulos que difieren en 90° (90° + α o π/2 + α):
  • sen(90° + α) = cos α
  • cos(90° + α) = −sen α
  • tan(90° + α) = −cot α
• Ángulos que difieren en 180° (180° + α o π + α):
  • sen(180° + α) = −sen α
  • cos(180° + α) = −cos α
  • tan(180° + α) = tan α

Conceptos de Geometría Analítica

Rectas Paralelas

Dos rectas r y s son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales: mr = ms.

Procedimiento para hallar la recta paralela a una dada que pasa por un punto P(x₀, y₀):

1. Calcular la pendiente (m) de la recta dada.
2. Usar la ecuación punto-pendiente: y - y₀ = m(x - x₀). Alternativamente, usar la forma explícita y = mx + c, sustituir las coordenadas de P(x₀, y₀) y despejar la ordenada en el origen c.

Distancia entre dos Puntos

La distancia entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) se calcula como el módulo del vector AB:

d(A, B) = |<0xE2><0x86><0x92>AB| = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

Punto Simétrico respecto a una Recta

Procedimiento para hallar el punto S, simétrico de un punto P respecto a una recta r:

1. Hallar la ecuación de la recta s, que es perpendicular a la recta r y pasa por el punto P. (Si mr es la pendiente de r, la pendiente de s es ms = -1/mr, salvo si r es horizontal o vertical).
2. Calcular el punto de corte Q entre las rectas r y s, resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambas.
3. El punto Q es el punto medio del segmento PS. Utilizar la fórmula del punto medio para despejar las coordenadas del punto simétrico S(x_s, y_s): xQ = (xP + xs)/2 y yQ = (yP + ys)/2. Despejando: xs = 2xQ - xP y ys = 2yQ - yP.