Formulario Esencial de Geometría: Áreas, Perímetros y Volúmenes de Figuras 2D y 3D

Constantes Fundamentales

Pi (π): Aproximadamente 3.141592

Geometría Plana: Fórmulas de Figuras 2D

Características del Polígono Regular

Un polígono es regular si cumple al menos una de las siguientes condiciones:

• Todos sus lados son iguales:

  a₁ = a₂ = a₃ = ... = a_n-1 = a_n

• Todos sus ángulos son iguales:

  α₁ = α₂ = α₃ = ... = α_n-1 = α_n

Polígonos Específicos

Triángulo Isósceles

• Área (A):
  • A = (b · h) / 2
  • A = (1/2) · a · b · sen(C) (donde C es el ángulo entre lados a y b)
• Perímetro (P): P = 2a + b
• Altura (h): h = a · sen(A) (donde A es el ángulo de la base)
• Relación Pitagórica: 4a² = 4h² + b²

Cuadrado

• Área (A): A = a²
• Perímetro (P): P = 4a
• Ángulo Interno (α): α = 90°
• Ángulo Externo (β): β = 90°
• Número de Diagonales (ND): ND = 2

Rectángulo

• Área (A): A = b · h
• Perímetro (P): P = 2b + 2h

Paralelogramo

• Área (A): A = b · h
• Perímetro (P): P = 2b + 2a

Rombo

• Área (A): A = (d · D) / 2
• Perímetro (P): P = 4a
• Relación de Diagonales y Lado: 4a² = d² + D²

Trapecio

• Área (A): A = ((B + b) · h) / 2
• Perímetro (P): P = a + b + B + c

Trapecio Recto

• Área (A): A = ((B + b) · h) / 2
• Perímetro (P): P = a + b + B + h
• Relación de Lados: a² = (B − b)² + h²

Triángulo Escaleno

• Área (A):
  • A = (b · h) / 2
  • A = √[s(s − a)(s − b)(s − c)] (Fórmula de Herón)
• Semiperímetro (s): s = (a + b + c) / 2
• Perímetro (P): P = a + b + c
• Altura (h): h = c · sen(A) = a · sen(C)

Triángulo Rectángulo

• Área (A): A = (b · a) / 2
• Perímetro (P): P = a + b + c
• Relaciones Trigonométricas:
  • a = c · sen(A) = c · cos(B)
  • b = c · sen(B) = c · cos(A)
• Teorema de Pitágoras: c² = a² + b²

Polígonos Regulares (Fórmulas Específicas)

Pentágono Regular

• Área (A): A = (5/2) · r² · sen(72°)
• Perímetro (P): P = 5b
• Relación de Lados y Radio (r): 4r² = 4a² + b²
• Lado (b): b = r · √(10 − 2√5) / 2 = 2 · r · sen(36°)
• Apotema (a): a = r · √(6 + 2√5) / 4 = r · cos(36°)
• Ángulo Interno (α): α = 108°
• Ángulo Externo (β): β = 72°
• Número de Diagonales (ND): ND = 5

Hexágono Regular

• Área (A): A = (3√3 / 2) · b²
• Perímetro (P): P = 6b
• Apotema (a): a = (√3 / 2) · b = b · cos(30°)
• Ángulo Interno (α): α = 120°
• Ángulo Externo (β): β = 60°
• Número de Diagonales (ND): ND = 9

Octágono Regular

• Área (A):
  • A = 2 · (1 + √2) · b²
  • A = 8 · a² · tan(22.5°)
  • A = 8 · r² · sen(22.5°) · cos(22.5°)
• Perímetro (P): P = 8 · b = 16 · a · tan(22.5°)
• Apotema (a): a = r · cos(22.5°)
• Lado (b): b = 2r · sen(22.5°)
• Ángulo Interno (α): α = 135°
• Ángulo Externo (β): β = 45°
• Número de Diagonales (ND): ND = 20

Polígono Regular de n Lados

• Área (A): A = (n · b · a) / 2 = n · r² · tan(180°/n)
• Perímetro (P): P = n · b
• Ángulo Interno (α): α = ((n − 2) · 180°) / n
• Ángulo Externo (β): β = 180° − α = 360° / n
• Apotema (a): a = r · cos(180°/n)
• Lado (b): b = 2 · r · sen(180°/n)
• Número de Diagonales (ND): ND = (n · (n − 3)) / 2

Figuras Circulares

Nota: Para las siguientes fórmulas, α se expresa en grados sexagesimales.

Círculo

• Área (A): A = π · r²
• Perímetro (P) / Circunferencia: P = 2π · r

Sector Circular

• Área (A): A = (α / 360°) · π · r²
• Longitud de Arco (L): L = (α / 180°) · π · r
• Perímetro (P): P = 2r + L

Segmento Circular

• Área (A): A = (α / 360°) · π · r² − (1/2) · r² · sen(α)
• Altura (h) / Sagita: h = r − r · cos(α / 2)
• Cuerda (c): c = 2 · r · sen(α / 2)
• Perímetro (P): P = L + c (donde L es la longitud de arco del sector correspondiente)
• Relación aproximada de altura y cuerda: h ≈ c² / (8r) + r / 2

Triángulo Circular (Triángulo formado por dos radios y una cuerda)

• Área (A): A = (1/2) · r² · sen(α)
• Cuerda (c): c = 2 · r · sen(α / 2)
• Perímetro (P): P = 2r + c

Trapecio Circular

• Área (A): A = (α / 360°) · π · (R² − r²)
• Perímetro (P): P = 2π · (R + r) · (α / 360°) + 2 · (R − r)

Corona Circular

• Área (A): A = π · (R² − r²)
• Perímetro (P): P = 2π · (R + r)

Elipse

• Área (A): A = π · a · b
• Perímetro (P) (Aproximado): P ≈ π · (a + b)
• Perímetro (P) (Integral): P = 4 ∫₀^π/2 √[a² · sen²(t) + b² · cos²(t)] dt

Geometría del Espacio: Fórmulas de Figuras 3D

Cubo (Hexaedro Regular)

• Área Total (A): A = 6a²
• Volumen (V): V = a³

Prisma Recto (Rectangular)

• Área Total (A): A = 2ab + 2ac + 2bc
• Volumen (V): V = a · b · c

Esfera

Nota: r es el radio de la esfera.

• Área Superficial (A): A = 4π · r²
• Volumen (V): V = (4/3)π · r³

Cilindro

• Área Total (A_TOTAL): A_TOTAL = 2πr (h + r)
• Área de las Bases (A_BASES): A_BASES = 2πr²
• Área Lateral (A_LATERAL): A_LATERAL = 2πrh
• Volumen (V): V = π · r² · h

Cono

• Área Total (A_TOTAL): A_TOTAL = πr · g + πr²
• Área de la Base (A_BASE): A_BASE = πr²
• Área Lateral (A_LATERAL): A_LATERAL = πrg
• Volumen (V): V = (1/3)π · r² · h
• Generatriz (g): g² = h² + r²