Formulario Esencial de Geometría Analítica y Álgebra

Mediatriz de un Segmento

Para hallar la mediatriz del segmento que tiene sus extremos en los puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):

• Punto Medio (M): Se calcula el punto medio M del segmento AB: M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
• Pendiente Perpendicular: Se halla la pendiente del segmento AB (m_AB = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)) y luego la pendiente de la mediatriz (m_mediatriz = -1/m_AB).
• Ecuación de la Recta: Se aplica la ecuación punto-pendiente: y - y_M = m_mediatriz(x - x_M).

Circuncentro de un Triángulo

Para calcular el circuncentro de un triángulo cuyos vértices son A, B y C:

• Mediatriz del lado AB (r): Se calcula la mediatriz del lado AB siguiendo los pasos anteriores (punto medio, pendiente perpendicular, ecuación punto-pendiente).
• Mediatriz del lado AC (s): Se calcula la mediatriz del lado AC de la misma manera.
• Resolución del Sistema: El circuncentro es el punto de intersección de las dos mediatrices, por lo que se resuelve el sistema de ecuaciones formado por ambas.

Ortocentro de un Triángulo

Para calcular el ortocentro de un triángulo cuyos vértices son A, B y C:

• Altura relativa al lado AB (r): Se calcula la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado AB. Esta recta pasa por el vértice C. Se halla la pendiente de AB (m_AB), luego la pendiente perpendicular (m_altura = -1/m_AB), y se aplica la ecuación punto-pendiente con el punto C.
• Altura relativa al lado AC (s): Se calcula la ecuación de la recta que contiene a la altura relativa al lado AC. Esta recta pasa por el vértice B. Se halla la pendiente de AC (m_AC), luego la pendiente perpendicular (m_altura = -1/m_AC), y se aplica la ecuación punto-pendiente con el punto B.
• Resolución del Sistema: El ortocentro es el punto de intersección de las dos alturas, por lo que se resuelve el sistema de ecuaciones formado por ambas rectas.

Baricentro de un Triángulo

El baricentro G de un triángulo con vértices A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) y C(x₃, y₃) se calcula como:

G((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)

Área de un Triángulo

Para hallar el área de un triángulo con vértices A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) y C(x_C, y_C), existen dos métodos principales:

Método 1: Base y Altura

• Longitud de la Base (b): Se calcula la distancia entre dos vértices, por ejemplo, A y B, para obtener la longitud de la base:

  b = d(A,B) = √((x_B-x_A)² + (y_B-y_A)²)

• Altura (h): Se calcula la ecuación de la recta que contiene al lado AB (r). Esta recta se obtiene con el punto A y la pendiente m_AB. Luego, la altura (h) es la distancia del vértice C a esta recta (r):

  Si la ecuación general de la recta r es Ax + By + C' = 0, entonces:

  h = d(C,r) = |Ax_C + By_C + C'| / √(A² + B²)

• Área del Triángulo:

  Área = (1/2) × b × h

Método 2: Coordenadas de los Vértices

El área también puede calcularse directamente usando las coordenadas de los vértices:

Área = (1/2) |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|

Ecuaciones de la Circunferencia

Ecuación Canónica (Centro C(a,b) y Radio R)

(x - a)² + (y - b)² = R²

Ecuación con Centro en el Origen O(0,0) y Radio R

x² + y² = R²

Ecuación General de la Circunferencia

x² + y² + mx + ny + p = 0

Donde el centro C(a,b) y el radio R se calculan como:

C(-m/2, -n/2)

R = √((m/2)² + (n/2)² - p)

Posiciones Relativas

Posición Relativa de una Recta y una Circunferencia

Sea 'd' la distancia del centro de la circunferencia a la recta, y 'R' el radio de la circunferencia:

• Secante: d < R
• Tangente: d = R
• Exterior: d > R

Posición Relativa de Dos Circunferencias

Sean 'd' la distancia entre los centros de las circunferencias, 'R' el radio de la primera y 'R'' el radio de la segunda:

• Exteriores: d > R + R'
• Tangentes Exteriores: d = R + R'
• Secantes: |R - R'| < d < R + R'
• Tangentes Interiores: d = |R - R'|
• Interiores (una dentro de otra sin tocarse): d < |R - R'|
• Concéntricas: d = 0

La Elipse

Ecuación Canónica de la Elipse (Centro en el Origen O(0,0))

La relación fundamental es: a² = b² + c², donde 'a' es el semieje mayor, 'b' el semieje menor y 'c' la semidistancia focal.

• Focos en el Eje X: (Eje mayor horizontal, a > b)

  x²/a² + y²/b² = 1

• Focos en el Eje Y: (Eje mayor vertical, a > b)

  x²/b² + y²/a² = 1

Elipse Centrada en un Punto C(m,n)

• Eje mayor horizontal:

  (x - m)²/a² + (y - n)²/b² = 1

• Eje mayor vertical:

  (x - m)²/b² + (y - n)²/a² = 1

La Hipérbola

Ecuación Canónica de la Hipérbola (Centro en el Origen O(0,0))

La relación fundamental es: c² = a² + b², donde 'a' es el semieje real, 'b' el semieje imaginario y 'c' la semidistancia focal.

• Focos en el Eje X: (Eje real horizontal)

  x²/a² - y²/b² = 1

• Focos en el Eje Y: (Eje real vertical)

  y²/a² - x²/b² = 1

Asíntotas (para hipérbola con centro en el origen y focos en eje X)

y = (b/a)x y y = -(b/a)x

Hipérbola Centrada en un Punto C(m,n)

• Eje real horizontal:

  (x - m)²/a² - (y - n)²/b² = 1

• Eje real vertical:

  (y - n)²/a² - (x - m)²/b² = 1

La Parábola

Ecuación Canónica de la Parábola (Vértice en el Origen V(0,0))

El parámetro 'p' representa la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz.

• Abre hacia el Eje X (horizontal):

  y² = 2px (Abre a la derecha si p>0, a la izquierda si p<0)

  • Vértice: V(0,0)
  • Foco: F(p/2, 0)
  • Directriz: x = -p/2
  • Eje de simetría: y = 0 (Eje X)
• Abre hacia el Eje Y (vertical):

  x² = 2py (Abre hacia arriba si p>0, hacia abajo si p<0)

  • Vértice: V(0,0)
  • Foco: F(0, p/2)
  • Directriz: y = -p/2
  • Eje de simetría: x = 0 (Eje Y)

Problemas de Lugares Geométricos

Un problema común de lugares geométricos implica encontrar el conjunto de puntos P(x,y) que cumplen una cierta condición, como la equidistancia a un punto A y a una recta r.

• Planteamiento: Se establece la condición geométrica en términos de distancias, por ejemplo, d(A,P) = d(P,r).
• Igualación y Resolución: Se expresan las distancias en función de las coordenadas de P(x,y) y se igualan las expresiones. Luego, se resuelve la ecuación resultante.
• Identificación: La ecuación obtenida representa el lugar geométrico, que puede ser una parábola, una elipse, una hipérbola, una circunferencia, una recta, etc.

Números Complejos

Conjugado de un Número Complejo

Si z = a + bi, su conjugado es &bar;z = a - bi.

Inverso de un Número Complejo

Si z = a + bi, su inverso es z^-1 = 1/z = (a - bi) / (a² + b²).

Módulo y Argumento de un Número Complejo

Para z = a + bi:

• Módulo (r): r = |z| = √(a² + b²)
• Argumento (α): tan(α) = b/a (considerando el cuadrante de z para determinar α correctamente).

Forma Trigonométrica de un Número Complejo

z = r(cos α + i sen α)

Simetrías de Funciones

Para determinar la simetría de una función f(x):

• Función Par (Simetría respecto al Eje Y):

  Si f(-x) = f(x), la función es par y simétrica respecto al eje Y.

• Función Impar (Simetría respecto al Origen):

  Si f(-x) = -f(x), la función es impar y simétrica respecto al origen.

• Sin Simetría:

  Si f(-x) ≠ f(x) y f(-x) ≠ -f(x), la función no es ni par ni impar.

Representación Gráfica de una Parábola (Función Cuadrática)

Para representar gráficamente una parábola de la forma y = ax² + bx + c:

• Eje de Simetría: Se calcula la coordenada x del vértice, que también es el eje de simetría:

  x_v = -b/(2a)

• Vértice: Se sustituye el valor de x_v en la ecuación de la parábola para obtener la coordenada y del vértice (y_v). El vértice es el punto (x_v, y_v).
• Puntos de Corte con el Eje Y: Se hace x = 0 en la ecuación para encontrar el punto de corte con el eje Y (0, c).
• Puntos de Corte con el Eje X (Raíces): Se hace y = 0 y se resuelve la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 para encontrar los puntos de corte con el eje X (si existen).
• Orientación:

  Si a > 0, la parábola abre hacia arriba.

  Si a < 0, la parábola abre hacia abajo.

• Tabla de Valores (Opcional): Se pueden calcular puntos adicionales dando valores a x a ambos lados del eje de simetría.