Formulario Esencial de Cálculo Diferencial y Geometría Analítica

Cálculo Diferencial: Fórmulas y Aplicaciones

Tabla de Derivadas Fundamentales y Regla de la Cadena

A continuación, se presenta una tabla con las derivadas de funciones básicas y su aplicación a funciones compuestas, donde u = f(x) es una función derivable.

Tabla de Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas

Aplicaciones de la Derivada

Recta Tangente y Recta Normal

La recta tangente a una función f(x) en un punto (x₀, f(x₀)) se calcula con la fórmula:

y - f(x₀) = f'(x₀) · (x - x₀)

La recta normal a una función f(x) en el mismo punto se calcula con la fórmula:

y - f(x₀) = -1/f'(x₀) · (x - x₀)

Ejemplo de Cálculo de Rectas Tangente y Normal:

Si se tiene un punto, por ejemplo, P(5, 2), donde x₀ = 5 y f(x₀) = 2.

Dada la función f(x) = x² + 3x - 2:

1. Calcula la primera derivada: f'(x) = 2x + 3.
2. Sustituye x₀ en la derivada para obtener la pendiente en ese punto: f'(x₀).
3. Luego, utiliza las fórmulas para calcular la ecuación de la recta tangente y la recta normal, dejando x como incógnita.

Optimización de Funciones

Para resolver problemas de optimización, sigue estos pasos:

1. Dibujo: Realiza un esquema o dibujo del problema.
2. Función Objetivo: Define la función objetivo que se desea maximizar o minimizar (ej: A(x,y) = x · y).
3. Condición: Encuentra una condición o restricción que relacione las variables (ej: (x-2) · (y-4) = 18).
4. Sustitución: Despeja una variable de la condición (ej: y = 4 + 18/(x-2)) y sustitúyela en la función objetivo para que esta dependa de una sola variable (ej: A(x) = x · (4 + 18/(x-2)) = (4x² + 10x) / (x-2)).
5. Derivada e Igualación a Cero: Deriva la función objetivo A(x) e iguala la derivada a cero (A'(x) = 0). Resuelve la ecuación resultante para encontrar los puntos críticos.
6. Estudio de Monotonía o Segunda Derivada: Realiza un estudio de monotonía o calcula la segunda derivada (A''(x)) y sustituye los valores críticos para determinar si son máximos o mínimos (ej: A''(5)).
7. Sustitución Final: Sustituye el valor de x encontrado en el despeje de y para obtener el valor correspondiente de y (ej: y = 4 + 18/(5-2) = 10).

Asíntotas de Funciones

Las asíntotas son rectas a las que la función se aproxima indefinidamente.

• Asíntota Horizontal (AH)

  Se calcula como el límite de la función cuando x tiende a infinito:

  y = lim_x→∞ f(x)

  Si el límite es un valor finito L, entonces y = L es una asíntota horizontal.

• Asíntota Vertical (AV)

  Se encuentran en los puntos donde el denominador de la función se anula y el límite de la función tiende a infinito.

  x = a si lim_x→a f(x) = ±∞

  Para determinar el comportamiento de la función, se calculan los límites laterales por cada lado del punto a (ej: lim_x→a^- f(x) y lim_x→a⁺ f(x)).

• Asíntota Oblicua (AO)

  Se presenta cuando no hay asíntota horizontal y la función tiende a infinito. La ecuación de la asíntota oblicua es y = mx + n, donde:

  m = lim_x→∞ f(x)/x

  n = lim_x→∞ (f(x) - mx)

Geometría Analítica en el Espacio

Cálculo de Rangos y Posición Relativa de Rectas

Para determinar el rango de matrices y la posición relativa de rectas, se utilizan diversas técnicas:

1. Determinante de la Matriz A (3x3): Calcula el determinante de la matriz principal para iniciar la determinación del rango.
2. Cálculo de la Matriz Adjunta: Si es necesario, calcula la matriz adjunta de A', buscando filas con la mayor cantidad de ceros para simplificar, asegurando que la primera fila tenga al menos un elemento no nulo.
3. Método de Gauss: Aplica el método de eliminación de Gauss para simplificar la matriz y facilitar el cálculo del rango.
4. Determinante Resultante: Calcula el determinante de la submatriz que queda, por ejemplo, una 3x3.
5. Determinación del Rango: Calcula el nuevo determinante para establecer el rango. Por ejemplo, si el determinante nuevo es de rango 4, indica una situación específica.

Posición Relativa de Dos Rectas en el Espacio (Secantes o que se Cruzan)

Para determinar si dos rectas son secantes o se cruzan:

1. Vectores y Puntos: Obtén el vector director y un punto de cada una de las dos rectas.
2. Vector de Unión: Forma el vector P_rP_s que une un punto de la primera recta (P_r) con un punto de la segunda recta (P_s).
3. Determinante Mixto: Calcula el determinante mixto formado por los dos vectores directores de las rectas y el vector P_rP_s.
4. Interpretación:
   • Si el determinante es cero, las rectas son secantes (se cortan en un punto).
   • Si el determinante es distinto de cero, las rectas se cruzan (no se cortan y no son paralelas).

Ecuación del Plano que Contiene a Dos Rectas

Para encontrar la ecuación de un plano que contiene a dos rectas:

1. Vectores y Puntos: Calcula el vector director y un punto de cada una de las dos rectas.
2. Matriz para el Plano: Elige un punto cualquiera de una de las rectas (ej: P_r(x_r, y_r, z_r)) y forma una matriz con el vector (x-x_r, y-y_r, z-z_r) y los dos vectores directores (V_r y V_s):

   | x-xr   y-yr   z-zr |
   | Vrx      Vry      Vrz      |
   | Vsx      Vsy      Vsz      |

3. Cálculo del Determinante: Calcula el determinante de esta matriz e iguálalo a cero. La ecuación resultante será la ecuación general del plano.

Cálculo de un Punto de Intersección entre Rectas

Para encontrar el punto de intersección entre dos rectas:

1. Parametrización: Expresa las ecuaciones de ambas rectas en su forma paramétrica, utilizando un parámetro diferente para cada una (ej: λ y μ).
2. Igualación de Coordenadas: Iguala las coordenadas x, y y z de ambas ecuaciones paramétricas, formando un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas (λ y μ).
3. Resolución del Sistema: Resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros.
4. Sustitución Final: Sustituye el valor de uno de los parámetros (ej: λ) en la ecuación paramétrica de su respectiva recta para obtener las coordenadas del punto de intersección.

Determinación de Puntos Coplanarios

Para determinar si cuatro puntos son coplanarios (es decir, si pertenecen al mismo plano):

1. Formación de Vectores: A partir de los cuatro puntos (ej: A, B, C, D), forma tres vectores con un punto común (ej: AB, AC, AD).
2. Determinante Mixto: Calcula el determinante mixto de estos tres vectores.
3. Interpretación: Si el determinante es cero, los cuatro puntos son coplanarios. Si es distinto de cero, no lo son.

Resumen de Posiciones Relativas por Rangos

Posición Relativa entre Recta y Recta

• Rango(A) = 2 y Rango(A') = 2: Las rectas son coincidentes.
• Rango(A) = 2 y Rango(A') = 3: Las rectas son paralelas.
• Rango(A) = 3 y Rango(A') = 3: Las rectas son secantes.
• Rango(A) = 3 y Rango(A') = 4: Las rectas se cruzan.

Posición Relativa entre Plano y Plano

• Rango(A) = 1 y Rango(A') = 1: Los planos son coincidentes.
• Rango(A) = 1 y Rango(A') = 2: Los planos son paralelos.
• Rango(A) = 2 y Rango(A') = 2: Los planos son secantes (se cortan en una recta).