Formulario Esencial de Cálculo Diferencial y Funciones

Dominio de Funciones

El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores posibles de x para los cuales f(x) está definida.

• Constante: R (Todos los números reales)
• Lineal: R
• Cuadrática: R
• Racionales: R \ {n} (Todos los reales excepto los valores que anulan el denominador)
• Arco de Circunferencia (Funciones Trigonométricas Inversas): [-n, n] (El argumento debe estar en este intervalo, por ejemplo, para arcsen(x) es [-1, 1])
• Radicales:
  • Índice Impar: El dominio de la función es el dominio del radicando.
  • Índice Par: El radicando P(x) debe ser mayor o igual a cero (P(x) ≥ 0).
• Valor Absoluto: R
• Signo (sgn): R
• Parte Entera: R
• Trigonométricas (Sen, Cos): R (Para Tan, Sec, Csc, Cot, se excluyen los valores que anulan el denominador)

Cálculo del Dominio por Tipo de Función

• Radicales:
  • Índice Impar: Se iguala el radicando a 0 y se despeja X para encontrar posibles restricciones (si las hay en el radicando).
  • Índice Par: Se buscan los números que hacen el radicando negativo y se utiliza una tabla de signos (rejilla) para determinar los intervalos válidos.
• Arco (Funciones Trigonométricas Inversas): Se busca el intervalo de definición del argumento (por ejemplo, para arcsen(f(x)), se resuelve -1 ≤ f(x) ≤ 1).
• Signo (sgn): Se define la función por tramos: sgn(x) = -1 si x < 0, 0 si x = 0, 1 si x > 0.
• Parte Entera: Se utiliza la definición n ≤ f(x) < n+1. Se despeja X y se buscan los valores correspondientes.

Valor Numérico de Funciones

Para hallar el valor numérico de una función en un punto:

• Se sustituye la variable (X) por su valor específico.
• La función signo debe ser definida por tramos antes de la sustitución.

Ejemplo de Operaciones con Funciones

(F + G / H)(x): Se plantean las funciones tal como están y luego se sustituye el valor de x.

Dominio de (F + G / H)(x): Se aplica el dominio analítico para cada función y se busca la intersección de los dominios, excluyendo los valores que anulan el denominador de H(x).

Cálculo de una Expresión: Q = H(3) + G(π/4) / [F(1/4)]² - F(-2)

Para resolver, se busca el valor de cada función en el punto dado y se sustituyen en la expresión para encontrar el resultado final.

Composición de Funciones

La composición de funciones implica sustituir una función dentro de otra.

• Si es (F o G)(x) = F(G(x)): Donde en la función F haya una X, se sustituye por la función G(x).
• Si es (G o F)(x) = G(F(x)): Donde en la función G haya una X, se sustituye por la función F(x).

Para el Dominio de la Composición: Se aplica el dominio analítico, considerando que el dominio de G(x) debe estar dentro del dominio de F(x).

Continuidad de Funciones

Una función es continua en un punto si el límite de la función en ese punto existe, la función está definida en ese punto, y ambos valores son iguales.

• Discontinuidad Esencial (o de Salto): Los límites laterales son diferentes.
• Discontinuidad Evitable: La imagen de la función en el punto es diferente al límite, o la función no está definida en el punto pero el límite existe.
• Funciones con Parte Entera: Se evalúa con valores cercanos (decimales) para analizar la continuidad.
• Funciones Signo: Se define la función por tramos para analizar la continuidad.

Asíntotas

Las asíntotas son líneas a las que la gráfica de una función se acerca indefinidamente.

• Asíntota Vertical (AV):
  • Se iguala el denominador Q(x) a cero y se despeja X.
  • Se evalúan los límites laterales de la función en los valores obtenidos (con valores cercanos, por ejemplo, decimales).
• Asíntota Horizontal (AH):
  • Existe si el grado del numerador P(x) es menor o igual al grado del denominador Q(x).
  • Se calcula el límite de la función cuando X tiende a infinito. Si el límite es un valor finito L, entonces Y = L es la AH.
  • Para calcular el límite, se divide cada término por la X de mayor grado.
• Asíntota Oblicua (AO):
  • Existe si el grado del numerador P(x) es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador Q(x).
  • La ecuación de la asíntota oblicua es Y = mX + b, donde:
    • Pendiente m: m = lim_x→∞ [F(x) / x]. Se divide por la X de mayor grado.
    • Ordenada al Origen b: b = lim_x→∞ [F(x) - mX].

Derivadas

La derivada de una función F(x), denotada como F'(x), se define como:

F'(x) = lim_h→0 [F(x+h) - F(x)] / h

Identidades Trigonométricas Fundamentales

• Sen²(x) + Cos²(x) = 1
• 1 + Cot²(x) = Csc²(x)
• Tan²(x) + 1 = Sec²(x)
• Sen(2x) = 2 Sen(x) Cos(x)
• Cos(2x) = Cos²(x) - Sen²(x)
• Sen(x) / Cos(x) = Tan(x)
• Cos(x) / Sen(x) = Cot(x)
• 1 / Sen(x) = Csc(x)
• 1 / Cos(x) = Sec(x)
• Sen²(x) = (1 - Cos(2x)) / 2
• Cos²(x) = (1 + Cos(2x)) / 2

Reglas de Derivación para Funciones Trigonométricas

Si u es una función de x (u = u(x)), entonces:

• F(x) = Sen(u) → F'(x) = Cos(u) · u'
• F(x) = Cos(u) → F'(x) = -Sen(u) · u'
• F(x) = Tan(u) → F'(x) = Sec²(u) · u'
• F(x) = Csc(u) → F'(x) = -Csc(u) Cot(u) · u'
• F(x) = Sec(u) → F'(x) = Sec(u) Tan(u) · u'
• F(x) = Cot(u) → F'(x) = -Csc²(u) · u'

Recta Tangente y Recta Normal

Dada una función F(x) y un punto (X₀, Y₀) en su gráfica:

• Recta Tangente: Y - Y₀ = m_tan(X - X₀), donde m_tan = F'(X₀).
• Recta Normal: Y - Y₀ = m_norm(X - X₀), donde m_norm = -1 / m_tan (si m_tan ≠ 0).

Derivabilidad

Una función es derivable en un punto X₀ si las derivadas laterales en ese punto son iguales:

F'(X₀)⁻ = F'(X₀)⁺

Valores Críticos

Los valores críticos de una función F(x) son los puntos en el dominio de F donde la derivada F'(x) es cero o no existe.

• Valores Críticos Estacionarios (VCE): Si F'(X₀) = 0.
• Valores Críticos Singulares (VCS): Si F'(X₀) no existe.

Cálculo de Valores Críticos

• VCE: Se iguala la primera derivada a cero y se despeja X. Si los valores obtenidos pertenecen al dominio de F(x), son VCE.
• VCS: Se iguala el denominador de la primera derivada a cero y se despeja X. Si los valores obtenidos pertenecen al dominio de F(x), son VCS.
• Nota: Si el dominio de la función es R, solo puede tener VCE.

Valores Máximos y Mínimos Absolutos

Para encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de una función continua F(x) en un intervalo cerrado [a, b]:

1. Evaluar la función en los extremos del intervalo: F(a) y F(b).
2. Derivar la función F'(x) y buscar sus valores críticos (VC).
3. Evaluar la función en los valores críticos que pertenecen al intervalo [a, b]: F(vc).
4. Comparar todos los valores obtenidos en los pasos i) y iii). El mayor de estos valores es el máximo absoluto, y el menor es el mínimo absoluto en el intervalo.

Teoremas de Rolle y del Valor Medio

• Teorema de Rolle

  Si una función F(x) es continua en [a, b], derivable en (a, b) y F(a) = F(b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que F'(c) = 0.

  Pasos: Evaluar la función en los extremos, derivar, igualar la derivada a 0 y despejar X.

• Teorema del Valor Medio

  Si una función F(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que F'(c) = [F(b) - F(a)] / (b - a).

  Pasos: Evaluar la función en los extremos, derivar, aplicar la fórmula del teorema, igualar y despejar X.

Estudio Completo de Funciones

Para realizar un estudio completo de una función, se analizan los siguientes aspectos:

• Puntos de Corte

  • Con el eje X (raíces): Se iguala Y = 0 y se resuelve para X. Los puntos son (X, 0).
  • Con el eje Y: Se iguala X = 0 y se resuelve para Y. El punto es (0, Y).

• Simetría

  • Respecto al eje Y (función par): Si F(x) = F(-x).
  • Respecto al origen (función impar): Si F(-x) = -F(x).

• Criterio de la Primera Derivada (Crecimiento y Extremos Relativos)

  1. Si F'(x) > 0, la función es creciente.
  2. Si F'(x) < 0, la función es decreciente.
  3. Si F'(x) cambia de signo de positivo a negativo en un valor crítico (VC), hay un máximo relativo. Si cambia de negativo a positivo, hay un mínimo relativo.

  Pasos: Determinar el Dominio (Df), derivar la función, buscar los valores críticos (VC) y realizar una tabla de signos para F'(x).

• Criterio de la Segunda Derivada (Concavidad y Puntos de Inflexión)

  1. Si F''(x) > 0, la función es cóncava hacia arriba.
  2. Si F''(x) < 0, la función es cóncava hacia abajo.
  3. Si F''(x) = 0, el criterio no es concluyente (se debe usar el criterio de la primera derivada o analizar el cambio de signo de F'').

  Puntos de Inflexión:

  Un punto (X₀, F(X₀)) es un punto de inflexión si:

  1. F''(X₀) = 0 o F''(X₀) no existe.
  2. X₀ pertenece al Dominio de la función (Df).
  3. F''(X) cambia de signo alrededor de X = X₀.

  Pasos: Derivar la función por primera y segunda vez, igualar la segunda derivada a 0 y despejar X, luego realizar una tabla de signos para F''(x).