Formulario Esencial de Cálculo: Derivadas, Límites y Dominios de Funciones

Formulario de Derivadas y Conceptos Fundamentales de Cálculo

Reglas Básicas de Derivación

• Función Potencial Simple (Potencia): Exponente $\cdot X$ elevado a un grado menos.
  • Ejemplo 1: $D(x^{-3}) = -3x^{-4}$
  • Ejemplo 2: $D(8x^2) = 16x$
• Suma y Resta: Derivada de $f(x) \pm$ Derivada de $g(x)$.
  • Ejemplo: $D(-4x^3+x-2) = -12x^2+1$
• Producto: $D(f(x) \cdot g(x)) = D(f(x)) \cdot g(x) + f(x) \cdot D(g(x))$
• Cociente: $D\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{D(f(x)) \cdot g(x) - f(x) \cdot D(g(x))}{g(x)^2}$

Derivación de Funciones Compuestas (Regla de la Cadena)

• Funciones Potenciales Compuestas: Exponente $\cdot$ función elevada a un grado menos $\cdot$ derivada de la base.
  • Ejemplo: $D((4x^2-\frac{x}{3})^2) = 2 \cdot (4x^2-\frac{x}{3}) \cdot (8x-\frac{1}{3})$
• Funciones Exponenciales ($a^{f(x)}$): Misma función $\cdot$ derivada del exponente $\cdot$ logaritmo neperiano de la base.
  • Ejemplo: $D(3^{5x^2}) = 3^{5x^2} \cdot 10x \cdot \ln 3$

Derivadas de Funciones Logarítmicas

• Logaritmo en base $A$ de $f(x)$: $\frac{D(f(x))}{f(x)} \cdot \log_A E$.
  • Ejemplo: $D(\log_2 (3x^2)) = \frac{6x}{3x^2} \cdot \log_2 E$
• Logaritmo Neperiano de $f(x)$ ($\ln f(x)$): $\frac{D(f(x))}{f(x)}$.
  • Ejemplo: $D(\ln (x^2+2x)) = \frac{2x+2}{x^2+2x}$

Propiedades de los Logaritmos (Recordatorio)

• $\log(x \cdot y) = \log x + \log y$
• $\log(x/y) = \log x - \log y$
• $\log x^k = k \cdot \log x$

Derivadas de Funciones Trigonométricas

• Seno de $f(x)$: Coseno de $f(x) \cdot$ derivada de $f(x)$.
  • Ejemplo: $D(\sin (3x^2+2x)) = \cos (3x^2+2x) \cdot (6x+2)$
• Coseno de $f(x)$: $- \text{Seno de } f(x) \cdot$ derivada de $f(x)$.
  • Ejemplo: $D(\cos x) = -\sin x \cdot 1$
• Tangente de $f(x)$: $\frac{D(f(x))}{\cos^2 f(x)}$ o $(1+\tan^2 f(x)) \cdot D(f(x))$.
  • Ejemplo 1: $D(\tan (x^2+3x+7)) = \frac{2x+3}{\cos^2 (x^2+3x+7)}$
  • Ejemplo 2: $D(\tan (x^2+3x+7)) = (1+\tan^2 (x^2+3x+7)) \cdot (2x+3)$

Derivadas de Funciones Arco (Inversas Trigonométricas)

• Arcoseno de $f(x)$: $\frac{D(f(x))}{\sqrt{1-f(x)^2}}$
• Arcocoseno de $f(x)$: $-\frac{D(f(x))}{\sqrt{1-f(x)^2}}$
• Arcotangente de $f(x)$: $\frac{D(f(x))}{1+f(x)^2}$

Dominios de Funciones

Reglas para determinar el dominio ($D$) de una función:

• Fracciones: El denominador no puede ser cero. ($D = \mathbb{R}$ menos los resultados que anulan el denominador).
• Raíces de Índice Par: El contenido (radicando) debe ser mayor o igual que cero (requiere resolver una inecuación y usar la recta real).
• Raíces de Índice Impar: El dominio es todo $\mathbb{R}$.
• Logaritmos: El argumento (lo de dentro) debe ser estrictamente mayor que cero (requiere resolver una inecuación y usar la recta real).

Nota: Cuando hay una fracción dentro de una raíz o de un logaritmo, se debe aplicar el estudio de signos (+/+ y -/-).

Límites de Funciones

Orden de Infinito

Para $x \to \infty$, el orden de crecimiento es:

$$ \log x < x^2 < x^n < a^x \quad (a>1) $$

Cálculo de Límites

• Límite en un Punto: Se sustituye el punto en la función.
• Límite en Infinito:
  • $\frac{a}{\infty} = 0$
  • $\frac{a}{0} = \infty$ (Requiere límites laterales para determinar el signo).
  • $0.5^{\infty} = 0$
  • $5^{-\infty} = 0$
• Límite de Polinomios en $\pm \infty$: Solo se considera el término de mayor grado.

Indeterminaciones Comunes

Indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$ (Cociente de Polinomios)

• Si Grado del numerador $>$ Grado del denominador: El límite es $\pm \infty$ (depende de los signos).
• Si Grado del numerador $<$ Grado del denominador: El límite es $0$.
• Si Grado del numerador $=$ Grado del denominador: El límite es la fracción de los coeficientes principales.

Indeterminación $\frac{0}{0}$

Métodos de resolución: Factorización, conjugado, identidad notable, simplificación.

Indeterminación $0 \cdot \infty$

Se multiplica la función y se analiza el grado resultante.

Indeterminación $\infty - \infty$

Métodos de resolución: Conjugado, identidad notable, simplificación.

Indeterminación $1^{\infty}$ (Número $e$)

Se utiliza la fórmula del número $e$: $e^{\lim_{x \to a} (f(x)-1) \cdot g(x)}$, donde el límite original es $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}$.

Técnicas de ajuste:

• Si se necesita un $1$ delante, se suma y se resta $1$ a la función base.
• Si se necesita $1/\text{algo}$, se pone ese uno y la parte superior de la fracción pasa al denominador.
• Si se necesita el 'algo' en el exponente, se pone y se multiplica por la inversa y el exponente original.

Conceptos Adicionales

Continuidad

• Función definida por una sola fórmula: La continuidad se estudia en el dominio.
• Función definida a trozos: Se deben calcular los límites laterales y el valor de la función ($f(x)$) en los puntos donde cambia la definición.

Asintotas

• Asintota Horizontal (AH): Se calcula $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$. Si el resultado es $L$, la AH es $y=L$.
• Asintota Vertical (AV): Se calcula el dominio y se realizan límites laterales en los puntos donde la función no está definida.
• Asintota Oblicua (AO): $y=mx+n$.
  • $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$
  • $n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx)$

Derivabilidad

Se deriva la función dada y se comprueba la continuidad de la derivada mediante límites laterales en los puntos de cambio (para funciones a trozos).

Representaciones Gráficas

• Rectas: Se dan valores y se dibuja la recta.
• Función Constante: Siempre da el mismo valor, independientemente de $x$.
• Parábola: Se calcula el vértice ($x_v = -b/2a$), se dan valores y se dibuja.
• Valor Absoluto:
  • $|f(x)| = f(x)$ si $f(x) \ge 0$
  • $|f(x)| = -f(x)$ si $f(x) < 0$
• Parábola con Valor Absoluto: Se dibuja la parábola sin valor absoluto y la parte que queda por debajo del eje $X$ se refleja hacia arriba.

Operaciones con Funciones

• Composición de Funciones:
  • $(g \circ f)(x)$: Se sustituye $x$ en $g$ por la función $f$.
  • $(f \circ g)(x)$: Se sustituye $x$ en $f$ por la función $g$.
• Función Inversa ($f^{-1}(x)$):
  1. Intercambiar $x$ por $y$.
  2. Despejar $y$.
  3. El resultado de $y$ es la función inversa.