Formulario Completo de Geometría Vectorial y Espacial en R³

Ecuaciones de la Recta y el Plano en el Espacio (R³)

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial:

  $(x, y, z) = (a_1, a_2, a_3) + k \cdot (v_1, v_2, v_3)$

• Ecuación Paramétrica:

  $x = a_1 + k \cdot v_1$

  $y = a_2 + k \cdot v_2$

  $z = a_3 + k \cdot v_3$

• Ecuación Continua:

  $$\frac{x - a_1}{v_1} = \frac{y - a_2}{v_2} = \frac{z - a_3}{v_3}$$

• Ecuación Implícita (o General): La recta se define como la intersección de dos planos:

  $$\begin{cases} Ax + By + Cz + D = 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' = 0 \end{cases}$$

Ecuación del Plano

• Ecuación General (Implícita):

  $Ax + By + Cz + D = 0$

Conceptos Fundamentales de Vectores

• Vector Fijo (o Ligado): Vector representado por un segmento orientado $\vec{AB}$.
• Vectores Equipolentes: Vectores fijos que tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido.
• Vector Libre: Es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí.

Operaciones Vectoriales

• Producto Escalar (Punto):

  $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$

• Producto Vectorial (Cruz):

  $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$

• Producto Mixto (Triple Escalar):

  $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

Cálculo de Ángulos en Geometría Espacial

Nota: $\vec{V}$ representa el vector director de una recta y $\vec{n}$ el vector normal de un plano.

• Entre dos Rectas ($r$ y $s$):

  $$\cos \alpha = \frac{|\vec{V}_r \cdot \vec{V}_s|}{|\vec{V}_r| \cdot |\vec{V}_s|}$$

  Si las rectas se cruzan (no son coplanares), el ángulo se calcula igualmente entre sus vectores directores.

• Entre dos Planos ($\pi_1$ y $\pi_2$):

  $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$

• Entre Recta ($r$) y Plano ($\pi$): (Se utiliza el seno)

  $$\sin \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{V}_r|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{V}_r|}$$

Planos Especiales

• Plano Mediador entre dos Puntos ($A$ y $B$): Se calcula el punto medio de $A$ y $B$, y se define el plano que pasa por ese punto medio y es perpendicular al vector $\vec{AB}$. El punto genérico es $P(x, y, z)$.
• Plano Bisector entre dos Planos ($\pi_1$ y $\pi_2$): Es el lugar geométrico de los puntos $P(x, y, z)$ que equidistan de ambos planos. Se igualan las distancias:

  $$d(P, \pi_1) = d(P, \pi_2)$$

  $$\frac{A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}} = \pm \frac{A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$

Cálculo de Distancias

• Entre dos Puntos ($A$ y $B$): Módulo del vector $\vec{AB}$.
• Entre un Punto ($P$) y una Recta ($r$): (Siendo $Q$ un punto de la recta $r$)

  $$d(P, r) = \frac{|\vec{QP} \times \vec{V}_r|}{|\vec{V}_r|}$$

• Entre Punto ($P$) y Plano ($\pi$):

  Procedimiento: Se traza la recta perpendicular al plano que pasa por $P$. Se halla el punto de corte ($Q$) entre la recta y el plano. La distancia es el módulo de $\vec{PQ}$.

  Fórmula: Si $P(x_0, y_0, z_0)$ y $\pi: Ax+By+Cz+D=0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

• Entre dos Rectas ($r$ y $s$): (Siendo $P$ y $Q$ puntos de $r$ y $s$ respectivamente)

  $$d(r, s) = \frac{|[\vec{PQ}, \vec{V}_r, \vec{V}_s]|}{|\vec{V}_r \times \vec{V}_s|}$$

• Entre dos Planos Paralelos ($\pi_1$ y $\pi_2$): Se toma un punto cualquiera $P$ de $\pi_1$ y se calcula la distancia $d(P, \pi_2)$.
• Entre Recta ($r$) y Plano ($\pi$): Solo se calcula si la recta es paralela al plano. Se toma un punto $P$ de la recta $r$ y se calcula la distancia $d(P, \pi)$. Si la recta y el plano se cortan, la distancia es cero.

Posiciones Relativas de Elementos Geométricos

Se utiliza el Teorema de Rouché-Fröbenius, donde $R(A)$ es el rango de la matriz de coeficientes y $R(A')$ es el rango de la matriz ampliada. (1 ecuación por plano y 2 ecuaciones por recta).

Posición Relativa de dos Rectas

Posición Relativa de Recta y Plano

Posición Relativa de dos Planos

Posición Relativa de tres Planos