Formulario Completo de Conceptos Matemáticos Esenciales

Lógica Proposicional

En lógica, una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

Principios Fundamentales

• Negación:
  • Si la negación de una proposición es verdadera, entonces la proposición original es falsa.
  • Si la negación de una proposición es falsa, entonces la proposición original es verdadera.

Clasificación de Proposiciones Compuestas

• Tautología: Una proposición compuesta que es siempre verdadera, independientemente de los valores de verdad de sus componentes.
• Contradicción: Una proposición compuesta que es siempre falsa, independientemente de los valores de verdad de sus componentes.
• Contingencia: Una proposición compuesta que puede ser verdadera o falsa, dependiendo de los valores de verdad de sus componentes.

Leyes Lógicas Fundamentales

• Asociatividad:
  • p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
  • p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
• Leyes de De Morgan:
  • ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
  • ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
• Leyes de Absorción:
  • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
  • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
• Implicación Material:
  • p → q ≡ ¬p ∨ q
• Leyes Distributivas:
  • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
  • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Tablas de Verdad

Las tablas de verdad son herramientas para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de sus proposiciones simples.

Tabla 1: Conjunción (∧) y Disyunción (∨)

Tabla 2: Implicación (→) y Bicondicional (↔)

Inducción Matemática

El principio de inducción matemática es un método de demostración utilizado para probar que una propiedad o fórmula es válida para todos los números naturales.

1. Paso Base: Demostrar que la proposición P(n) es válida para el primer caso (usualmente P(1)).
2. Hipótesis de Inducción: Suponer que la hipótesis P(k) es válida para algún entero positivo k.
3. Paso Inductivo (Tesis): Demostrar que la proposición P(k+1) es válida, utilizando la hipótesis de inducción.
   • Para ello, se agrega el término siguiente en ambos lados de la expresión (reemplazando n por k+1 en el lado izquierdo y sumando el término correspondiente en ambos lados).
4. Desarrollo y Simplificación: Trabajar con el término de la derecha, factorizando o simplificando si es posible.
5. Comparación: El objetivo es llegar a una expresión "similar" a la fórmula original, pero con k+1 en lugar de n.
6. Conclusión: Por último, al reemplazar n por k+1 en la fórmula original, se debe obtener una igualdad con el resultado del paso anterior.

Conclusión: Por el Teorema de Inducción Matemática, deducimos que para todo n, la proposición P(n) es verdadera.

Sumatorias

Las sumatorias son una notación compacta para representar la suma de una serie de términos.

• Suma de los primeros n enteros:

  ∑_{i=1}^{n} i = n(n+1)/2

• Suma de los primeros n cuadrados:

  ∑_{i=1}^{n} i² = n(n+1)(2n+1)/6

• Suma de los primeros n cubos:

  ∑_{i=1}^{n} i³ = (n(n+1)/2)²

• Suma Telescópica:

  ∑_{i=p}^{n} (A_i - A_{i+1}) = A_p - A_{n+1}

  (Se cancelan los términos intermedios, quedando solo el primer y el último término.)

• Suma de una Serie Geométrica:

  ∑_{i=0}^{n-1} r^i = (r^n - 1)/(r - 1) (para r ≠ 1)

  (Nota: La fórmula original b((b^n)-1)/(b-1) parece ser para ∑_{i=1}^{n} b^i, que es b * (b^n - 1) / (b - 1). Se ha ajustado a la forma más común.)

• Suma de una Constante:

  ∑_{i=1}^{n} c = n · c

• Conteo de Términos en una Sumatoria:

  Para una sumatoria desde n1 hasta n2, el número de términos es n2 - n1 + 1.

Productorias

Las productorias son una notación compacta para representar el producto de una serie de términos.

• Producto de una Constante por una Variable:

  ∏_{i=1}^{n} (c · A_i) = c^n · ∏_{i=1}^{n} A_i

• Producto Telescópico:

  ∏_{i=p}^{n} (A_i / A_{i+1}) = A_p / A_{n+1}

• Producto de los primeros n enteros (Factorial):

  ∏_{i=1}^{n} i = n!

• Producto de Potencias con la misma base:

  ∏_{i=1}^{n} k^i = k^(∑_{i=1}^{n} i)

• Producto de una Constante:

  ∏_{i=1}^{n} k = k^n

Combinatoria

La combinatoria es la rama de las matemáticas que estudia las diferentes formas de organizar o seleccionar elementos de un conjunto.

Tipos de Arreglos

• Combinación (sin orden, sin repetición, no todos los elementos):

  Número de formas de elegir n elementos de un conjunto de m elementos distintos, sin importar el orden y sin repetición.

  C(m, n) = (m choose n) = m! / (n!(m-n)!)

• Combinación con Repetición (sin orden, con repetición, no todos los elementos):

  Número de formas de elegir n elementos de un conjunto de m elementos distintos, sin importar el orden y permitiendo repetición.

  CR(m, n) = (m+n-1 choose n) = (m+n-1)! / (n!(m-1)!)

• Variación (con orden, sin repetición, no todos los elementos):

  Número de formas de elegir y ordenar n elementos de un conjunto de m elementos distintos, sin repetición.

  V(m, n) = m! / (m-n)!

• Variación con Repetición (con orden, con repetición, no todos los elementos):

  Número de formas de elegir y ordenar n elementos de un conjunto de m elementos distintos, permitiendo repetición.

  VR(m, n) = m^n

• Permutación (con orden, sin repetición, todos los elementos):

  Número de formas de ordenar todos los m elementos de un conjunto distinto.

  P(m) = m!

• Permutación con Repetición (con orden, con repetición, todos los elementos):

  Número de formas de ordenar n elementos donde hay a elementos idénticos de un tipo, b de otro, etc.

  PR(n; a, b, c, ...) = n! / (a!b!c!...)

Teorema del Binomio

El Teorema del Binomio permite expandir una potencia de un binomio (a+b)^n en una suma de términos.

• Fórmula General:

  (a+b)^n = ∑_{k=0}^{n} (n choose k) a^(n-k) b^k

  Donde n es el exponente del binomio y (n choose k) es el coeficiente binomial.

• Término Independiente (sin x):

  Si se busca el término independiente de x en una expansión, se debe igualar el exponente de x en el término general a cero y resolver para k. Luego, se sustituye este valor de k en la fórmula del término general para obtener el término.

• Número de Términos:

  La expansión de (a+b)^n tiene n+1 términos.

• Cálculo de un Término Específico (Término k+1):

  El término en la posición k+1 (contando desde k=0) de la expansión es:

  T_{k+1} = (n choose k) a^(n-k) b^k

  Para encontrar el término número X, se establece k+1 = X, por lo que k = X-1. Luego se sustituye este valor de k en la fórmula.

Números Complejos: Forma Polar y Teorema de De Moivre

Los números complejos pueden representarse en forma polar, lo que facilita operaciones como la potenciación y la radicación.

• Forma Polar (o Trigonométrica):

  Un número complejo Z = x + iy puede expresarse como:

  Z = |Z|(cos θ + i sen θ)

  o de forma abreviada:

  Z = |Z| cis(θ)

  Donde |Z| es el módulo (magnitud) y θ es el argumento (ángulo).

• Teorema de De Moivre:

  Para elevar un número complejo en forma polar a una potencia entera n:

  Z^n = (|Z| cis(θ))^n = |Z|^n cis(nθ) = |Z|^n (cos(nθ) + i sen(nθ))

• Raíces n-ésimas de un Número Complejo:

  Las n raíces n-ésimas de un número complejo Z = |Z| cis(θ) se calculan con la fórmula:

  Z_k = |Z|^(1/n) cis((θ + 2kπ)/n)

  Donde k toma valores desde 0 hasta n-1 (es decir, k = 0, 1, 2, ..., n-1). Esto significa que hay n raíces distintas.

  n es el índice de la raíz que se busca.

Fracciones Parciales

La descomposición en fracciones parciales es una técnica utilizada para reescribir una función racional como una suma de fracciones más simples, lo que es útil en integración.

Después de plantear la forma de la descomposición, se resuelve un sistema de ecuaciones para encontrar los coeficientes (A, B, C, etc.).

Casos Comunes de Descomposición

1. Factores Lineales Distintos y Repetidos:

   Para un denominador con un factor lineal distinto (x-α1) y un factor lineal repetido (x-α2)^2:

   P(x) / ((x-α1)(x-α2)²) = A/(x-α1) + B/(x-α2) + C/((x-α2)²)

2. Factores Lineales y Cuadráticos Irreducibles Distintos:

   Para un denominador con un factor lineal (x-α1) y un factor cuadrático irreducible (ax²+bx+c):

   P(x) / ((x-α1)(ax²+bx+c)) = A/(x-α1) + (Bx+C)/(ax²+bx+c)

3. Combinación de Factores Lineales y Cuadráticos Irreducibles Repetidos:

   Para un denominador con un factor lineal distinto (x-α1), un factor lineal repetido (x-α2)³ y un factor cuadrático irreducible (ax²+bx+c):

   P(x) / ((x-α1)(x-α2)³(ax²+bx+c)) = A/(x-α1) + B/(x-α2) + C/((x-α2)²) + D/((x-α2)³) + (Ex+F)/(ax²+bx+c)

Polinomios

Los polinomios son expresiones algebraicas que constan de variables y coeficientes, que solo involucran las operaciones de suma, resta, multiplicación y potencias enteras no negativas de las variables.

Método para Encontrar Raíces Racionales

1. Posibles Raíces Racionales:

   Identificar los divisores del término independiente del polinomio y los divisores del coeficiente principal. Las posibles raíces racionales son de la forma (divisor del término independiente) / (divisor del coeficiente principal).

2. División Sintética (Regla de Ruffini):

   Utilizar la división sintética con las posibles raíces racionales para encontrar una raíz que haga que el residuo sea cero.

3. Polinomio Cociente:

   El resultado de la división sintética es un polinomio de un grado menor que el original, cuyos coeficientes son los obtenidos en la tabla de Ruffini.

4. Resolución de Ecuación Cuadrática:

   Si el polinomio cociente resultante es de segundo grado, sus dos últimas raíces pueden obtenerse resolviendo la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general (x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a).

Geometría Analítica: Distancia de un Punto a un Plano

La distancia perpendicular de un punto P(x₀, y₀, z₀) a un plano definido por la ecuación general Ax + By + Cz + D = 0 se calcula mediante la siguiente fórmula:

d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)