Formulario Completo de Cálculo Diferencial e Integral

Formulario de Derivadas

A continuación se presentan las reglas fundamentales de derivación para funciones algebraicas, trascendentes y compuestas:

• (c)' = 0 (Derivada de una constante)
• (cu)' = c * u'
• (u ± v)' = u' ± v'
• (uv)' = u'v + uv' (Regla del producto)
• (u/v)' = (u'v - uv') / v² (Regla del cociente)
• (uⁿ)' = n * uⁿ⁻¹ * u' (Regla de la potencia)
• (1/u)' = -u' / u²
• (1/uⁿ)' = -n * u' / uⁿ⁺¹
• (√u)' = u' / (2√u)
• (eᵘ)' = eᵘ * u'
• (aᵘ)' = aᵘ * ln(a) * u'
• (ln u)' = u' / u
• (logₐ u)' = u' / (u * ln a)
• f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x) (Regla de la cadena)

Derivadas de Funciones Trigonométricas e Inversas

• (sin u)' = cos u * u'
• (cos u)' = -sin u * u'
• (tan u)' = sec² u * u'
• (cot u)' = -csc² u * u'
• (sec u)' = sec u * tan u * u'
• (csc u)' = -csc u * cot u * u'
• (arcsin u)' = u' / √(1 - u²)
• (arccos u)' = -u' / √(1 - u²)
• (arctan u)' = u' / (1 + u²)
• (arccot u)' = -u' / (1 + u²)
• (arcsec u)' = u' / (|u| * √(u² - 1))
• (arccsc u)' = -u' / (|u| * √(u² - 1))

Tabla de Integrales Indefinidas

Principales fórmulas de integración y formas básicas:

• ∫ dx = x + C
• ∫ a dx = a·x + C
• ∫ xⁿ dx = (xⁿ⁺¹) / (n + 1) + C
• ∫ (1/x) dx = ln|x| + C
• ∫ eˣ dx = eˣ + C
• ∫ aˣ dx = (aˣ) / ln(a) + C
• ∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x + C
• ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
• ∫ tan(x) dx = ln |sec(x)| + C
• ∫ cot(x) dx = ln |sin(x)| + C
• ∫ sec(x) dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C
• ∫ csc(x) dx = ln |csc(x) - cot(x)| + C
• ∫ sec²(x) dx = tan(x) + C
• ∫ csc²(x) dx = -cot(x) + C
• ∫ sec(x)·tan(x) dx = sec(x) + C
• ∫ csc(x)·cot(x) dx = -csc(x) + C

Integrales de Formas Especiales

• ∫ 1/(a² + x²) dx = (1/a) arctan(x/a) + C
• ∫ 1/√(a² - x²) dx = arcsen(x/a) + C
• ∫ 1/(x√(x² - a²)) dx = (1/a) arcsec(|x|/a) + C
• ∫ 1/√(x² - a²) dx = ln|x + √(x² - a²)| + C
• ∫ 1/√(x² + a²) dx = ln|x + √(x² + a²)| + C

Métodos de Integración

1. Sustitución (Cambio de Variable)

Se define u = g(x), por lo tanto du = g'(x) dx.

2. Integración por Partes

Fórmula: ∫ u dv = u·v - ∫ v du.

Sugerencia para elegir u: Funciones logarítmicas, inversas trigonométricas, polinómicas, exponenciales y trigonométricas (ILATE).

3. Fracciones Parciales

• Caso 1: Factores lineales distintos.
  f(x) / [(ax + b)(cx + d)] = A / (ax + b) + B / (cx + d)
• Caso 2: Factores lineales repetidos.
  f(x) / (ax + b)ⁿ = A / (ax + b) + B / (ax + b)² + ... + N / (ax + b)ⁿ
• Caso 3: Factores cuadráticos distintos.
  f(x) / (ax² + bx + c) = (Ax + B) / (ax² + bx + c)
• Caso 4: Factores cuadráticos repetidos.
  f(x) / (ax² + bx + c)ⁿ = (Ax + B) / (ax² + bx + c) + ... + (Cx + D) / (ax² + bx + c)ⁿ

Integral Definida

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a) (Teorema Fundamental del Cálculo).

Cálculo Multivariable y Geometría Analítica

Cambio de Orden de Integración

1. Graficar la región de integración.
2. Identificar el tipo de región (Tipo I: x constante, Tipo II: y constante).
3. Cambiar los límites de integración al orden opuesto.
4. Armar la nueva integral.

Integrales Dobles en Coordenadas Polares

• Transformaciones: x = r·cos(θ), y = r·sin(θ).
• Relación: r² = x² + y².
• Diferencial de área: dA = r dr dθ (donde el Jacobiano J(r,θ) = r).
• Integral: ∫∫ f(x,y) dA = ∫∫ f(r·cosθ, r·sinθ) r dr dθ.

Transformaciones y Jacobiano

Para una transformación T(u,v) donde x = x(u,v) e y = y(u,v):

J(x,y) = |∂x/∂u ∂x/∂v; ∂y/∂u ∂y/∂v| = (∂x/∂u)(∂y/∂v) - (∂x/∂v)(∂y/∂u)

J(u,v) = 1 / J(x,y)

∫∫ f(x,y) dx dy = ∫∫ f(x(u,v), y(u,v)) |J(x,y)| du dv

Integrales Triples

En cajas rectangulares: ∭ f(x,y,z) dV = ∫ₐᵇ ∫꜀ᵈ ∫ₑᶠ f(x,y,z) dz dy dx.

Geometría: Cónicas y Áreas

• Circunferencia: (x - h)² + (y - k)² = r² (Centro h,k; radio r).
• Elipse Horizontal: (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 (a > b).
• Elipse Vertical: (x - h)² / b² + (y - k)² / a² = 1 (a > b).
• Hipérbola Horizontal: (x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 (Abre hacia los lados: ) ( ).
• Hipérbola Vertical: (y - k)² / a² - (x - h)² / b² = 1 (Abre hacia arriba/abajo: ◡ ◠).