Formulario Completo de Cálculo: Derivadas, Optimización y Vectores

Formulario Esencial de Cálculo Diferencial

Fórmulas Fundamentales de Derivación (Cálculo Univariable)

Donde c es una constante y u, v son funciones de x.

Reglas Básicas y Potencias

• Derivada de una constante: (c)' = 0
• Constante por función: (cu)' = c · u'
• Suma o Resta: (u ± v)' = u' ± v'
• Producto: (uv)' = u'v + uv'
• Cociente: (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• Regla de la Cadena: f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x)

Funciones Potenciales e Inversas

• Potencia: (uⁿ)' = n · uⁿ⁻¹ · u'
• Inversa simple: (1/u)' = -u' / u²
• Inversa potencial: (1/uⁿ)' = -n · u' / uⁿ⁺¹
• Raíz cuadrada: (√(u))' = u' / (2√(u))

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

• Exponencial natural: (eⁿ)' = eⁿ · u'
• Exponencial base a: (aⁿ)' = aⁿ · ln(a) · u'
• Logaritmo natural: (ln u)' = u'/u
• Logaritmo base a: (logₗ u)' = u' / (u · ln a)

Funciones Trigonométricas

• Seno: (sin u)' = cos u · u'
• Coseno: (cos u)' = -sin u · u'
• Tangente: (tan u)' = sec² u · u'
• Cotangente: (cot u)' = -csc² u · u'
• Secante: (sec u)' = sec u · tan u · u'
• Cosecante: (csc u)' = -csc u · cot u · u'

Funciones Trigonométricas Inversas

• Arcoseno: (arcsin u)' = u' / √(1 - u²)
• Arcocoseno: (arccos u)' = -u' / √(1 - u²)
• Arcotangente: (arctan u)' = u' / (1 + u²)
• Arcocotangente: (arccot u)' = -u' / (1 + u²)
• Arcosecante: (arcsec u)' = u' / (u · √(u² - 1))
• Arcocosecante: (arccsc u)' = -u' / (u · √(u² - 1))

Cálculo Multivariable y Vectorial

Regla de la Cadena para Funciones de Varias Variables

Caso 1: Una variable independiente (z = f(x,y), x=g(t), y=h(t))

Derivada total: ∂z/∂t = (∂f/∂x) · (∂x/∂t) + (∂f/∂y) · (∂y/∂t)

Caso 2: Dos variables independientes (z = f(x,y), x=x(u,v), y=y(u,v))

Derivada parcial respecto a u: ∂z/∂u = (∂f/∂x) · (∂x/∂u) + (∂f/∂y) · (∂y/∂u)

Caso 3: Funciones anidadas (F(x,y) = f(u(x,y), v(x,y)))

Derivada parcial respecto a x: ∂F/∂x = (∂f/∂u) · (∂u/∂x) + (∂f/∂v) · (∂v/∂x)

Derivada parcial respecto a y: ∂F/∂y = (∂f/∂u) · (∂u/∂y) + (∂f/∂v) · (∂v/∂y)

Derivación Implícita

Sea z = f(x,y) definida implícitamente por H(x,y,z) = 0:

• ∂z/∂x = - Hx/Hz
• ∂z/∂y = - Hy/Hz

Nota: Si F(x,y,z) = xy · f(u,v,w), el gradiente ∇f(P) se calcula con las derivadas parciales (Fx, Fy, Fz).

Vector Gradiente y Derivada Direccional

Vector Gradiente (∇f)

Sea f(x₁, x₂, ...) con punto P, el Vector Gradiente (VG) es:

∇f(P) = (∂f/∂x₁(P), ∂f/∂x₂(P), …, ∂f/∂xₙ(P))

Derivada Direccional (Dₗf(P))

La derivada direccional de f en P en la dirección del vector unitario u es:

Dₗf(P) = ∇f(P) · u (Es crucial normalizar u: u = V / ||V||)

Aplicaciones del Gradiente

1. Razón o Tasa de Cambio: Se calcula Dₗf(P). Si u = (a,b), debe cumplir a² + b² = 1.
2. Dirección de Crecimiento: Dₗf(P) > 0.
3. Dirección de Decrecimiento: Dₗf(P) < 0.
4. Crecimiento más Rápido: ||∇f(P)|| (en la dirección de ∇f(P)).
5. Decrecimiento más Rápido: -||∇f(P)|| (en la dirección opuesta a ∇f(P)).

Nota: Para direcciones con ángulo θ, el vector unitario es u = (cos θ, sin θ).

Plano Tangente y Vectores Normales

Plano Tangente (PT)

Sea la superficie definida implícitamente por F(x,y,z) = 0, el PT en el punto P₀ es:

(P - P₀) · n = 0, donde n = ∇F(P₀) es el vector normal.

Vectores Paralelos o Perpendiculares

• Si dos vectores normales son paralelos o perpendiculares: n = k(∇F₁) o n · ∇F₁ = 0.
• Producto Vectorial (Cruz): Para encontrar un vector normal a dos vectores v₁ y v₂, se usa el producto cruz. El resultado de la expansión del determinante es: (bf-ce)i - (af-cd)j + (ae-bd)k.

Optimización y Valores Extremos

Extremos Locales (Sin Restricciones)

Para Funciones de Dos Variables (f(x,y))

1. Puntos Críticos: Resolver el sistema de ecuaciones:
   • fₓ = ∂f/∂x = 0
   • fₕ = ∂f/∂y = 0
   Obteniendo P(a,b).
2. Matriz Hessiana: Construir la matriz de segundas derivadas:

   H(x,y) = [[fₓₓ, fₓₕ], [fₕₓ, fₕₕ]]

3. Criterio del Determinante (D): Calcular D = det(H(a,b)) = fₓₓ · fₕₕ - (fₓₕ)².
   • Si D > 0 y fₓₓ > 0 → Mínimo Local.
   • Si D > 0 y fₓₓ < 0 → Máximo Local.
   • Si D < 0 → Punto Silla.
   • Si D = 0 → Inconcluso.

Para Funciones de Tres Variables (f(x,y,z))

1. Puntos Críticos: Resolver fₓ=0, fₕ=0, fₔ=0. Obteniendo P(a,b,c).
2. Matriz Hessiana (3x3):

   H(x,y,z) = [[fₓₓ, fₓₕ, fₓₔ], [fₕₓ, fₕₕ, fₕₔ], [fₔₓ, fₔₕ, fₔₔ]]

3. Criterio de los Determinantes (Menores Principales):
   • det₁ = fₓₓ
   • det₂ = det([[fₓₓ, fₓₕ], [fₕₓ, fₕₕ]])
   • det₃ = det(H(x,y,z))

   Criterio:

   • Si det₁>0, det₂>0, det₃>0 → Mínimo Local.
   • Si det₁<0, det₂>0, det₃<0 → Máximo Local.
   • Cualquier otra combinación → Punto Silla.

Extremos Condicionales (Multiplicadores de Lagrange)

Para optimizar f(x,y) sujeto a la restricción g(x,y) = c.

1. Puntos Críticos: Definir el Lagrangiano L(x,y,λ) = f(x,y) - λ · g(x,y) y resolver el sistema:
   • Lₓ = fₓ - λ · gₓ = 0
   • Lₕ = fₕ - λ · gₕ = 0
   • g(x,y) = c (o Lᵻl = g(x,y) - c = 0)
   Resolver para λ y hallar P(a,b).
2. Hessiana Orlada (Criterio de la Segunda Derivada):

   Hᵇ = [[0, gₓ, gₕ], [gₓ, Lₓₓ, Lₓₕ], [gₕ, Lₕₓ, Lₕₕ]]

3. Determinante: Evaluar det(Hᵇ) en los puntos críticos.
   • Si det(Hᵇ) > 0 → Máximo Condicional.
   • Si det(Hᵇ) < 0 → Mínimo Condicional.
   • Si det(Hᵇ) = 0 → Inconcluso.

Fórmulas Geométricas Básicas (Aplicaciones)

Cilindro

Área Total (A) = 2πr(h+r) | Volumen (V) = πr²h

Esfera

Área (A) = 4πr² | Volumen (V) = (4/3)πr³

Cono

Área Total (A) = πr² + πrg | Volumen (V) = πr²h/3

Prisma

Área Total (A) = (Perímetro base · h) + 2 · Área base | Volumen (V) = Área base · h

Pirámide

Área Lateral (AL) = (Perímetro base · apotema lateral) / 2 | Volumen (V) = Área base · h / 3

Paralelepípedo

Área Total (AT) = 2(ab+bc+ac) | Área Lateral (AL) = 2(ab+ac) | Volumen (V) = abc

Cubo

Área (A) = 6a² | Volumen (V) = a³

Círculo

Perímetro (P) = 2πr | Área (A) = πr²

Cuadrado

Perímetro (P) = 4a | Área (A) = a²

Rectángulo

Perímetro (P) = 2(b+h) | Área (A) = bh

Triángulo

Perímetro (P) = 3a (Equilátero) | Área (A) = (base · h) / 2

Trapecio

Perímetro (P) = a+B+c+b | Área (A) = (B+b)/2 · h