Formulario Completo de Álgebra: Ecuaciones, Factorización y Matemática Financiera Esencial

Fórmulas Fundamentales y Factorización

Identidades Notables

Estas fórmulas son cruciales para la expansión y factorización de polinomios:

• (1) Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (2) Cuadrado de una diferencia: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• (3) Suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a² - b²
• (4) Cubo de una suma: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (5) Cubo de una diferencia: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Paso Previo Esencial

Operación básica antes de cualquier procedimiento: aplicar el Factor Común si existe.

Operaciones con Fracciones Algebraicas

El objetivo es simplificar la expresión al máximo.

1. Factoriza completamente el numerador y el denominador.
2. Cancela factores comunes (nunca términos sumados o restados).
3. Simplifica la expresión resultante.

Ejemplo típico: factorizar, cancelar y dejar el resultado reducido.

Métodos de Resolución de Ecuaciones

Ecuaciones Cuadráticas

Forma General: ax² + bx + c = 0

Fórmula General (Resolvente):

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Casos de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

• Si c = 0: ax² + bx = 0. Se resuelve por factor común: x(ax + b) = 0.
• Si b = 0: ax² + c = 0. Se resuelve despejando x² = -c/a.

Ecuaciones Bicuadradas

Estructura: ax⁴ + bx² + c = 0

1. Realizar la sustitución: t = x².
2. Resolver la ecuación cuadrática resultante en t: at² + bt + c = 0.
3. Deshacer la sustitución: x = ± √(t) (solo si t ≥ 0).

Ecuaciones Polinómicas (Grado 3 o Superior)

1. Buscar raíces evidentes: 0, 1, -1 o divisores del término independiente.
2. Si se encuentra una raíz r, dividir el polinomio por (x - r) usando el método de Ruffini.
3. Factorizar el polinomio resultante y resolver las ecuaciones de menor grado.

Ecuaciones Radicales

1. Aísla la raíz en uno de los miembros de la ecuación.
2. Eleva ambos lados al cuadrado (o a la potencia del índice de la raíz).
3. Resuelve la ecuación resultante.
4. Comprobar siempre las soluciones, ya que pueden aparecer soluciones falsas (extrañas).

Ecuaciones Racionales

1. Obtén el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de todos los denominadores.
2. Multiplica toda la ecuación por el MCM para eliminar las fracciones.
3. Resuelve la ecuación sin denominadores.
4. Comprobar que ninguna solución haga que el denominador original sea cero.

Ecuaciones Exponenciales

• Misma Base: Si se logra igualar las bases, se igualan los exponentes.
• Bases Diferentes: Aplicar logaritmos. Si aˣ = b, entonces x = log(b) / log(a).

Ecuaciones Logarítmicas

Definición: logₐ(P) = x equivale a aˣ = P.

Propiedades Fundamentales de los Logaritmos

• Logaritmo de un producto: log(a · b) = log(a) + log(b)
• Logaritmo de un cociente: log(a / b) = log(a) - log(b)
• Logaritmo de una potencia: k · log(a) = log(aᵏ)

Restricción de Dominio: El argumento del logaritmo (P) siempre debe ser mayor que 0.

Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Métodos de resolución comunes:

• Sustitución: Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir su expresión en la otra.
• Igualación: Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.
• Reducción: Multiplicar las ecuaciones por números adecuados para que, al sumarlas, se cancele una incógnita.

Inecuaciones

Se resuelven de manera similar a las ecuaciones, con una regla crucial:

Regla de Inversión: Si se multiplica o se divide la inecuación por un número negativo, se debe invertir el signo de la desigualdad (< pasa a >, ≥ pasa a ≤, etc.).

La solución final siempre se expresa en intervalos.

Potencias, Raíces y Aplicaciones Financieras

Operaciones con Potencias y Raíces

Leyes de los exponentes:

• Producto de potencias de igual base: aᵐ · aⁿ = a⁽ᵐ ⁺ ⁿ⁾
• Cociente de potencias de igual base: aᵐ / aⁿ = a⁽ᵐ ⁻ ⁿ⁾
• Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = a⁽ᵐ · ⁿ⁾
• Exponente fraccionario (raíz): a⁽¹/ⁿ⁾ = ⁿ√a
• Exponente fraccionario general: a⁽ᵖ/ᵠ⁾ = (ᵠ√a)ᵖ
• Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Recomendación: Simplificar expresiones pasando exponentes a fracción o a positivos cuando sea conveniente.

Interés Compuesto

Fórmula General:

CF = CI · (1 + r/100)ᵗ

Donde: CF = Capital Final, CI = Capital Inicial, r = Tasa de interés anual (%), t = Tiempo (años).

Capitalización Mensual:

CF = CI · (1 + r/(100 · 12))⁽¹² · ᵗ⁾

Tasa Anual Equivalente (TAE)

La TAE representa el interés real de una operación financiera, incluyendo comisiones y gastos asociados.

Cálculo de la TAE (Caso Práctico)

Datos del Ejercicio:

• Capital Inicial (Nominal): 10.000 €
• Tasa Nominal (r): 12%
• Tiempo (t): 1 año
• Gastos y Comisiones: 350 €

1. Cálculo del Capital Real Invertido:

Capital Real = 10.000 € - 350 € = 9.650 €

2. Cálculo del Capital Final (según la tasa nominal):

CF = 10.000 € · (1 + 12/100) = 10.000 € · 1,12 = 11.200 €

3. Planteamiento para hallar la TAE (r_TAE):

El Capital Real debe generar el mismo Capital Final (CF) usando la tasa real (TAE).

11.200 / 9.650 = 1 + r_TAE / 100

4. Despeje y Resultado:

r_TAE / 100 = (11.200 / 9.650) - 1

r_TAE = ((11.200 / 9.650) - 1) · 100

11.200 / 9.650 ≈ 1,1606

r_TAE ≈ 0,1606 · 100 ≈ 16,06%

Resultado: La Tasa Anual Equivalente (TAE) es aproximadamente del 16,06%.