Formulario Avanzado de Cálculo y Matemáticas Financieras

Matemáticas Financieras

Valor Final (VF) de Rentas

• Aportaciones prepagables (al inicio de cada plazo): S¨n|i = [((1+i)n - 1) / i] * (1+i)
• Aportaciones pospagables (al final de cada plazo): Sn|i = ((1+i)n - 1) / i

Valor Actual (VA) de Rentas

• Aportaciones prepagables: A¨n|i = [(1 - (1+i)-n) / i] * (1+i)
• Aportaciones pospagables: An|i = (1 - (1+i)-n) / i

Capitalización

• Capitalización Simple (operaciones < 1 año): C * (1 + i * t)
• Capitalización Compuesta (operaciones > 1 año): C * (1+i)t

Tipos de Interés

• De interés nominal (j_m) a efectivo (i_m): im = jm / m
• Conversión de tantos equivalentes (de k a m): im = (1 + ik)m/k - 1
• De interés anual (i) a efectivo (i_m): im = (1 + i)1/m - 1

Cálculo de Varias Variables

Continuidad de Funciones

Para estudiar la continuidad de una función en un punto, se siguen estos pasos:

1. Justificar la continuidad general: Indicar si la función es continua en su dominio por ser suma, cociente, o composición de funciones continuas.
2. Estudiar el punto problemático (ej. (0,0)):
   • Calcular el valor de la función en el punto, f(0,0).
   • Calcular el límite: lim(x,y)→(0,0) f(x,y).
   • Si el límite resulta en una indeterminación 0/0, se utilizan límites direccionales:
     • Rectas (y = mx): Se sustituye y en la función. Si el resultado del límite depende de m, el límite no existe.
     • Parábolas (y = mx²): Si el método anterior no es concluyente, se prueba con otras trayectorias.
   • Si se sospecha que el límite existe, se puede usar la Regla del Sándwich (Teorema de Acotación) para demostrarlo. Se acota |f(x,y) - L| por una función que tienda a cero. Por ejemplo: 0 ≤ |f(x,y)| ≤ g(x,y), donde lim(x,y)→(0,0) g(x,y) = 0.
3. Conclusión: Si lim(x,y)→(0,0) f(x,y) = f(0,0), la función es continua en (0,0). Si son distintos o el límite no existe, es discontinua en ese punto.

Teorema de la Función Implícita

Condiciones para que F(x,y) = 0 defina a y como función de x en un entorno de un punto:

1. La función F es de clase C¹ (o C^∞, como las polinómicas) en un entorno del punto.
2. La función se anula en el punto: F(punto) = 0.
3. La derivada parcial de F respecto a la variable dependiente (y) es distinta de cero en el punto: (∂F/∂y)(punto) ≠ 0.

Derivación Implícita

Bajo las condiciones anteriores, la derivada de la función implícita es: dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y).

Polinomio de Taylor (Orden 1)

El polinomio de Taylor de primer orden para una función g(x,z) en torno a un punto (x0, z0) es:

P1(x,z) = g(x0, z0) + (∂g/∂x)(x0, z0) * (x - x0) + (∂g/∂z)(x0, z0) * (z - z0)

Regla de la Cadena (Funciones Compuestas)

El gradiente de una función compuesta se calcula mediante la regla de la cadena, que involucra el producto de las matrices jacobianas (o gradientes).

Funciones Homogéneas

Una función f(x, y) es homogénea de grado k si para cualquier λ, se cumple: f(λx, λy) = λk * f(x,y).

Topología de Conjuntos en ℝ²

• Abierto: Un conjunto es abierto si coincide con su interior (no contiene sus puntos frontera).
• Cerrado: Un conjunto es cerrado si coincide con su adherencia (contiene todos sus puntos frontera).
• Acotado: Un conjunto es acotado si puede ser contenido dentro de una bola de radio finito centrada en el origen.
• Compacto: Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado (Teorema de Heine-Borel).

Regiones de Integración (Integrales Dobles)

• Región Rectangular: Los límites de ambas variables son constantes.
• Región Elemental Tipo I: x se mueve entre constantes y y entre funciones de x.
• Región Elemental Tipo II: y se mueve entre constantes y x entre funciones de y.

Consejo: Siempre es útil dibujar la región para determinar los límites de integración.

Optimización y Formas Cuadráticas

Clasificación de Formas Cuadráticas (Matriz Hessiana)

Método de los Autovalores (λ)

• Definida Positiva (D+): Todos los autovalores son positivos (λ > 0).
• Semidefinida Positiva (SD+): Todos los autovalores son mayores o iguales a cero (λ ≥ 0).
• Definida Negativa (D-): Todos los autovalores son negativos (λ < 0).
• Semidefinida Negativa (SD-): Todos los autovalores son menores o iguales a cero (λ ≤ 0).
• Indefinida: Existen autovalores positivos y negativos.

Método de los Menores Principales

Se analiza la secuencia de signos de los menores principales de la matriz Hessiana (H₁, H₂, ...):

• D+: Todos los menores son positivos (+, +, ...).
• SD+: Todos los menores son mayores o iguales a cero (≥0, ≥0, ...).
• D-: Los menores alternan el signo, empezando por negativo (-, +, -, ...).
• SD-: La secuencia -H₁, H₂, -H₃, ... está formada por números mayores o iguales a cero.
• Indefinida: Cualquier otro caso que no cumpla las condiciones anteriores.

Convexidad de Conjuntos

1. Hiperplano (ax + by = c): El conjunto es convexo.
2. Semiespacio (ax + by ≤ c): El conjunto es convexo.
3. Ecuación no lineal (f(x,y) = c): El conjunto generalmente no es convexo.
4. Desigualdad f(x,y) ≤ c: El conjunto es convexo si la función f es convexa (su Hessiano es D+ o SD+).
5. Desigualdad f(x,y) ≥ c: El conjunto es convexo si la función f es cóncava (su Hessiano es D- o SD-).