Formulari de Matemàtiques: Conceptes Clau i Fórmules

Formulari de Matemàtiques

Gràfiques:

• Continuïtat: Una funció és contínua en un punt a si: f(a) = lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x)
• Discontinuïtat de salt finit: lim_x→a^- f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x) ≠ f(a)
• Discontinuïtat de salt infinit: Un o ambdós límits laterals són infinits.
• Discontinuïtat evitable: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) ≠ f(a)

Asímptotes:

• Asímptota Vertical (A.V.): lim_x→a f(x) = ±∞
• Asímptota Horitzontal (A.H.): lim_x→∞ f(x) = b (on b és un nombre finit)
• Asímptota Obliqua (A.O.):
  • m = lim_x→∞ (f(x) / x)
  • n = lim_x→∞ (f(x) - mx)
  • Equació de l'asímptota obliqua: y = mx + n

Teoremes:

• Teorema de Bolzano: Si f(x) és contínua en [a, b] i f(a) * f(b) < 0 (signes diferents), llavors existeix almenys un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Rectes:

• Pendent de la recta: m = f'(x) (on x són els punts donats)
• Recta Tangent: y = f'(a)(x - a) + f(a) (on a és el punt donat)

Representació Gràfica de Funcions:

1. Domini
2. Punts de tall amb els eixos
3. Asímptotes
4. Monotonia (creixement i decreixement)
5. Simetria:
   • Si f(x) = f(-x), la funció és simètrica parell.
   • Si f(-x) = -f(x), la funció és simètrica imparell.

Derivades:

• Regla de la cadena: Si y = f(u) i u = g(x), llavors dy/dx = (dy/du) * (du/dx)

Fórmules de derivació:

• Si f(x) = √u, llavors f'(x) = u' / (2√u)
• Si f(x) = ⁿ√u, llavors f'(x) = u' / (n * ⁿ√u^n-1)
• Si y = ln(u), llavors y' = u' / u
• Si y = log_a(u), llavors y' = (u' * log_a(e)) / u
• Si y = e^u, llavors y' = e^u * u'
• Si y = a^u, llavors y' = a^u * u' * ln(a)
• Si y = sin(u), llavors y' = cos(u) * u'
• Si y = cos(u), llavors y' = -sin(u) * u'

Matrius:

• A * I = A (on I és la matriu identitat)
• Multiplicació de matrius: Per multiplicar dues matrius, el nombre de columnes de la primera matriu ha de ser igual al nombre de files de la segona matriu.
• Matriu nul·la: Tots els elements són 0.

Mètode de Cramer (per a sistemes d'equacions lineals):

• Sistema Compatible Determinat (SCD): x = Δx / |A| (on Δx s'obté substituint la columna de les x per la columna dels termes independents en la matriu de coeficients)
• Sistema Compatible Indeterminat (SCI): Eliminem una equació (si és redundant) i expressem algunes incògnites en termes de paràmetres.

Teorema de Rouché-Frobenius:

• Si rang(A) = rang(A') = nombre d'incògnites, llavors el sistema és SCD.
• Si rang(A) = rang(A') < nombre d'incògnites, llavors el sistema és SCI.
• Si rang(A) ≠ rang(A'), llavors el sistema és Incompatible (SI).
• Matriu identitat: una fila amb 1 i les altres 0.

Integrals:

Integrals Immediates:

• ∫k dx = kx + C
• ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n+1)) + C (n ≠ -1)
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫a^x dx = (a^x / ln(a)) + C
• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫e^f(x) * f'(x) dx = e^f(x) + C
• ∫f'(x) * f(x)ⁿ dx= f(x)ⁿ⁺¹/(n+1) + C
• ∫(f'(x) / f(x)) dx = ln|f(x)| + C
• ∫cos(f(x)) * f'(x) dx = sin(f(x)) + C
• ∫a^f(x) * f'(x) dx = (a^f(x) / ln(a)) + C

Integrals de Fraccions Racionals:

• Cas 1: Grau(Numerador) < Grau(Denominador):
  • Descomposició en fraccions simples. Exemple: ∫(Dx/dx) = ∫[A/(x-y)] + ∫[B/(x-z)]
  • Trobar A, B, C,... per mínim comú múltiple (mcm) i igualant numeradors.
• Cas 2: Grau(Numerador) ≥ Grau(Denominador):
  • Divisió polinòmica. Exemple: ∫(Dx/dx) = ∫Q(x)dx + ∫[R(x)/dx]
  • On Q(x) és el quocient i R(x) és el residu.

Integració per parts: ∫u dv = uv - ∫v du (Ordre d'importància: ALPES - Arc, Log, Polinòmiques, Exponencials, Sinus/cosinus)

Àrees:

• Si les funcions tenen el mateix subíndex, la integral definida entre els mateixos límits és 0.
• ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), on F(x) és la primitiva de f(x).

Límits amb Fraccions (x → ∞):

• Si grau(numerador) > grau(denominador), llavors el límit és ∞.
• Si grau(numerador) < grau(denominador), llavors el límit és 0.
• Si grau(numerador) = grau(denominador), llavors el límit és el quocient dels coeficients principals.

Doble Derivada:

• Si f''(x) > 0, llavors f(x) és convexa (forma de U).
• Si f''(x) < 0, llavors f(x) és còncava.

Vectors:

• Vector entre dos punts: AB = B - A
• Punt mig: M = (A + B) / 2
• Mòdul d'un vector: |V| = √(v_x² + v_y² + v_z²)
• Projecció ortogonal de U sobre V: proj_v(u) = (|u · v|) / |v|
• Vectors paral·lels: u_x/v_x = u_y/v_y = u_z/v_z
• Vectors perpendiculars: u · v = 0
• Àrea d'un paral·lelogram: A = |AB x AC|
• Àrea d'un triangle: A = (|AB x AC|) / 2

Equacions de la Recta:

• Equació contínua: (x - P_x) / V_x = (y - P_y) / V_y = (z - P_z) / V_z
• Equació implícita: Ax + By + Cz + D = 0
• Vector normal al pla: n = (A, B, C) = u x v
• Equació vectorial: (x, y, z) = (P_x, P_y, P_z) + t(V_x, V_y, V_z)
• Equacions paramètriques:
  • x = P_x + V_x * t
  • y = P_y + V_y * t
  • z = P_z + V_z * t

Combinació Lineal de vectors:

• a = x * U + y*V + z*W
• SCD: Existeix combinació lineal.
• SI: No existeix combinació lineal.
• Rang(A) = 3: Linealment independents. Formen un conjunt.
• Rang(A) = 2: No formen un conjunt. Linealment dependents.
• SCD: Les rectes es tallen en un punt.
• SI: Les rectes són paral·leles.
• SCI: Les rectes es tallen en una recta (són la mateixa recta o coincidents).

Estudi de la Posició Relativa de Dues Rectes:

Matriu de vectors directors (A) i matriu ampliada (A'):

• (A) = (V1 U1)
• (A') = (V1 U1 (P1 - P2))

Casos:

• Rg(A') = 3: Les rectes es creuen.
• Rg(A) = Rg(A') = 2: Les rectes es tallen en un punt.
• Rg(A) = 1 i Rg(A') = 2: Les rectes són paral·leles.
• Rg(A) = Rg(A') = 1: Les rectes coincideixen (són la mateixa recta).