Flujo Solenoidal y Potencial: Definiciones y Propiedades Clave

Se define de forma matemática el vector velocidad en cada punto como el vector rotacional, cambiando el signo de otro campo vectorial w.

En un flujo solenoidal se ha de cumplir que en cada punto tienen que haber definidos dos campos vectoriales: el campo de velocidad y el campo w. Es decir, tienen que coexistir a la vez en la misma región del espacio. Cuando haya un campo cuyo rotacional sea la velocidad cambiando el signo, el flujo es solenoidal.

El campo de vectores w, si existe, se llama potencial de velocidades.

Propiedad: Vamos a tomar divergencias en los dos miembros de la ecuación, es decir, aplicamos el operador nabla en los dos miembros. Esto es un producto mixto (se ponen los tres en una matriz y se calcula el determinante, pero si es cruz es que hay dos filas iguales).

1. El flujo solenoidal tiene divergencia nula, lo que quiere decir que no hay fuentes ni sumideros de líneas de campos. Aplicando que la divergencia es nula en la ecuación de continuidad tenemos:
2. La densidad del fluido es independiente del tiempo, es decir, se mantiene en cada punto. La densidad es estacionaria. Si el flujo es solenoidal en una tubería, el caudal que entra es igual al que sale.

El potencial es aquel flujo que cumple que el campo de velocidades es igual a menos el gradiente de un potencial escalar. Se dice que el campo escalar φ es el potencial de la velocidad. El campo de velocidades deriva del campo escalar.

Propiedad: Aplicamos el rotacional: El rotacional de un gradiente es nulo.

1. El flujo potencial es un flujo irrotacional, no tiene velocidad de rotación.
2. Dado que en el fluido no aparecen rotaciones, si hay partículas que se desplazan con distintas velocidades, no aparecen tensiones de cortadura, porque provocarían la rotación de las partículas. El flujo es conservativo.

Líneas de Corriente

Una línea de corriente es aquella línea que en un instante dado es tangente al vector velocidad en todo punto.

Los flujos se representan gráficamente gracias a las líneas de corriente. El fluido contenido en el interior del tubo de corriente está confinado, ya que no se pueden atravesar las líneas de corriente. Las paredes del tubo de corriente se calculan a partir del campo de velocidades por medio de las relaciones geométricas siguientes: dado que V debe ser localmente tangente al elemento línea dV tendremos:

Si las componentes u, V, W son funciones conocidas de la posición y del tiempo, las ecuaciones pueden ser integradas, obteniéndose así la línea de corriente que en un cierto instante pasa por el punto (x0, y0, z0). La integración puede resultar laboriosa. Una idea útil es introducir el parámetro dS en las ecuaciones. Así, integrando las ecuaciones respecto de S con las condiciones iniciales adecuadas (X0, Y0, Z0) manteniendo el tiempo constante y eliminando posteriormente S, se obtiene la expresión deseada, esto es, la línea de corriente.