Física del Movimiento Parabólico: Ejercicios Detallados y Cálculos de Proyectiles

Introducción a la Cinemática de Proyectiles

Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre el movimiento de proyectiles, un concepto fundamental en la cinemática. Se detallan los cálculos de desplazamiento, velocidad y tiempo de vuelo, aplicando las ecuaciones básicas del movimiento parabólico bajo la influencia de la gravedad. Cada sección aborda un problema específico, mostrando el proceso de resolución paso a paso.

Problema 1: Cálculo de Desplazamiento y Velocidad Final en un Lanzamiento Horizontal

Este ejercicio ilustra el cálculo de las componentes de desplazamiento horizontal y vertical, el desplazamiento total y la magnitud de la velocidad final para un proyectil con una velocidad horizontal inicial y movimiento vertical bajo gravedad.

Datos y Fórmulas Aplicadas:

• Velocidad horizontal inicial (V_ox): 138,88 m/s
• Tiempo de vuelo (t_v): 16,16 s
• Aceleración de la gravedad (g): 9,8 m/s²

Cálculos Detallados:

a) Desplazamiento Horizontal (dx) y Vertical (dy)

El desplazamiento horizontal se calcula asumiendo velocidad constante:

dx = Vox × tv

dx = 138,88 m/s × 16,16 s

dx = 2244,30 m

El desplazamiento vertical se calcula asumiendo caída libre desde el reposo (o desde la altura máxima, si se considera la mitad del tiempo de vuelo para un lanzamiento parabólico completo):

dy = 0,5 × g × tv2

dy = 0,5 × 9,8 m/s2 × (16,16 s)2

dy = 0,5 × 9,8 m/s2 × 261,1456 s2

dy = 1279,61 m

b) Desplazamiento Total (d)

El desplazamiento total es la magnitud del vector de posición, calculado usando el teorema de Pitágoras:

d = √(dx2 + dy2)

d = √((2244,30 m)2 + (1279,61 m)2)

d = √(5036882,49 m2 + 1637401,75 m2)

d = √(6674284,24 m2)

d = 2583,46 m

c) Magnitud de la Velocidad Final (V)

La velocidad horizontal (V_x) permanece constante. La velocidad vertical (V_y) se calcula por la aceleración de la gravedad:

Vx = Vox = 138,88 m/s

Vy = g × tv

Vy = 9,8 m/s2 × 16,16 s

Vy = 158,37 m/s

La magnitud de la velocidad final se obtiene combinando sus componentes:

V = √(Vx2 + Vy2)

V = √((138,88 m/s)2 + (158,37 m/s)2)

V = √(19287,65 m2/s2 + 25081,06 m2/s2)

V = √(44368,71 m2/s2)

V = 210,64 m/s

Problema 2: Movimiento de un Proyectil Lanzado con Ángulo de Elevación

Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 340 m/s y un ángulo de elevación de 40º. Se requiere calcular su posición y velocidad en un instante dado, así como el tiempo restante hasta impactar el suelo.

Datos Iniciales:

• Velocidad inicial (V₀): 340 m/s
• Ángulo de elevación (θ): 40º
• Tiempo (t): 10 s
• Aceleración de la gravedad (g): 9,8 m/s² (considerada positiva hacia abajo)

Cálculos Detallados:

a) La Posición del Proyectil 10s Después del Lanzamiento

Para la posición, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes horizontal (V_ox) y vertical (V_oy):

Vox = V0 × cos(θ) = 340 m/s × cos(40º) = 260,45 m/s

Voy = V0 × sen(θ) = 340 m/s × sen(40º) = 218,55 m/s

El desplazamiento horizontal (x) se calcula con velocidad constante:

x = Vox × t

x = 260,45 m/s × 10 s

x = 2604,55 m

El desplazamiento vertical (y) se calcula usando la ecuación de movimiento uniformemente acelerado, considerando la gravedad actuando hacia abajo:

y = Voy × t - 0,5 × g × t2

y = (218,55 m/s × 10 s) - (0,5 × 9,8 m/s2 × (10 s)2)

y = 2185,5 m - (0,5 × 9,8 m/s2 × 100 s2)

y = 2185,5 m - 490 m

y = 1695,5 m

Nota: La altura calculada en el documento original (708,5m) es incorrecta debido a un signo erróneo en la fórmula de desplazamiento vertical. Se ha corregido para reflejar la física del movimiento parabólico.

La magnitud de la posición (r) se obtiene con el teorema de Pitágoras:

r = √(x2 + y2)

r = √((2604,55 m)2 + (1695,5 m)2)

r = √(6783680,70 m2 + 2874720,25 m2)

r = √(9658400,95 m2)

r = 3107,79 m

b) Velocidad del Proyectil en ese Momento

La componente horizontal de la velocidad (V_x) es constante:

Vx = Vox = 260,45 m/s

La componente vertical de la velocidad (V_y) se calcula con la aceleración de la gravedad:

Vy = Voy - g × t

Vy = 218,55 m/s - (9,8 m/s2 × 10 s)

Vy = 218,55 m/s - 98 m/s

Vy = 120,55 m/s

La magnitud de la velocidad (V) se obtiene combinando sus componentes:

V = √(Vx2 + Vy2)

V = √((260,45 m/s)2 + (120,55 m/s)2)

V = √(67834,20 m2/s2 + 14532,30 m2/s2)

V = √(82366,50 m2/s2)

V = 286,99 m/s

c) Tiempo Restante para Chocar con la Tierra

Primero, calculamos el tiempo total de vuelo (T_v) para una trayectoria simétrica:

Tv = (2 × Voy) / g

Tv = (2 × 218,55 m/s) / 9,8 m/s2

Tv = 437,1 m/s / 9,8 m/s2

Tv = 44,60 s

El tiempo restante (T_s) para chocar con la Tierra es la diferencia entre el tiempo total de vuelo y el tiempo transcurrido:

Ts = Tv - t

Ts = 44,60 s - 10 s

Ts = 34,60 s

Al proyectil le faltan 34,60 segundos para chocar con la Tierra.

Problema 3: Determinación de Parámetros de Lanzamiento desde el Suelo

Desde el suelo se dispara un proyectil, formando un ángulo de 40º con la horizontal, cayendo al suelo en 5s. Se requiere determinar la velocidad inicial, la magnitud de la velocidad en un instante dado, el alcance horizontal y la altura máxima.

Datos Iniciales:

• Ángulo de elevación (θ): 40º
• Tiempo total de vuelo (T_v): 5 s
• Aceleración de la gravedad (g): 9,8 m/s²

Cálculos Detallados:

a) Velocidad Inicial (V₀)

Utilizamos la fórmula del tiempo total de vuelo para despejar la velocidad inicial:

Tv = (2 × V0 × sen(θ)) / g

Despejando V₀:

V0 = (g × Tv) / (2 × sen(θ))

V0 = (9,8 m/s2 × 5 s) / (2 × sen(40º))

V0 = 49 m/s / (2 × 0,6428)

V0 = 49 m/s / 1,2856

V0 = 38,12 m/s

b) Magnitud de la Velocidad al Cabo de 1,2 s

Este cálculo no fue proporcionado en el documento original. Para resolverlo, se necesitarían las componentes de velocidad (V_x y V_y) en t = 1,2 s, y luego calcular la magnitud V = √(V_x² + V_y²).

c) Alcance Horizontal (R)

Este cálculo no fue proporcionado en el documento original. El alcance horizontal se calcula como R = V_ox × T_v, donde V_ox = V₀ × cos(θ).

d) Altura Máxima (H_max)

Este cálculo no fue proporcionado en el documento original. La altura máxima se calcula como H_max = (V_oy²) / (2 × g), donde V_oy = V₀ × sen(θ).

Conclusión

Los ejercicios presentados demuestran la aplicación de los principios de la cinemática para resolver problemas de movimiento parabólico. Es crucial mantener la consistencia en la convención de signos para la aceleración de la gravedad y las componentes de velocidad para obtener resultados precisos. La comprensión de estas ecuaciones es fundamental para el estudio de la física del movimiento.