Física Fundamental: Gravitación, Órbitas y Electrostática

Gravitación Universal y Movimiento Planetario

Leyes de Kepler

1. Primera Ley (Ley de las Órbitas): Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Las órbitas planetarias tienen excentricidades muy pequeñas, lo que las hace parecer casi circulares.
2. Segunda Ley (Ley de las Áreas): El vector de posición de un planeta respecto del Sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. Esto implica que la velocidad orbital del planeta varía, siendo mayor cuando está más cerca del Sol (perihelio) y menor cuando está más lejos (afelio).
3. Tercera Ley (Ley de los Períodos): Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (T) es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita (R).

   Matemáticamente, para dos planetas 1 y 2:

   T₁² / R₁³ = T₂² / R₂³ = (4π² / GM_central)

   Donde G es la constante de gravitación universal y M_central es la masa del cuerpo central (ej. el Sol).

Ley de Gravitación Universal

La fuerza de atracción gravitatoria (F) entre dos cuerpos de masas M y m, separados por una distancia r, es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

F = G * M * m / r²

Se mide en Newtons (N).

Peso de un Cuerpo

El peso (P) de un cuerpo de masa m en la superficie de un planeta (o a una altura donde la aceleración de la gravedad es g₀) es la fuerza gravitatoria que ejerce el planeta sobre él.

P = m * g₀

Se mide en Newtons (N).

Energía Potencial Gravitatoria

La energía potencial gravitatoria (Eₚ) en un punto A, para una masa m en el campo gravitatorio de una masa M, a una distancia r del centro de M, se define como:

Eₚ(A) = -G * M * m / r

Se mide en Julios (J). El signo negativo indica que la fuerza gravitatoria es atractiva y que la energía potencial es cero en el infinito.

Trabajo del Campo Gravitatorio

El trabajo (W) realizado por el campo gravitatorio para mover una masa m desde un punto A hasta un punto B es igual a la disminución de su energía potencial gravitatoria.

W_A→B = -ΔEₚ = Eₚ(A) - Eₚ(B)

Se mide en Julios (J).

Intensidad del Campo Gravitatorio

La intensi dad del campo gravitatorio (g) en un punto es la fuerza gravitatoria por unidad de masa que experimentaría una masa de prueba colocada en ese punto.

g = F / m = G * M / r²

Se mide en N/kg o m/s².

Potencial Gravitatorio

El potencial gravitatorio (V) en un punto A es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa en ese punto.

V(A) = Eₚ / m = -G * M / r_A

Se mide en J/kg.

Relación entre Trabajo y Potencial Gravitatorio

El trabajo realizado por el campo gravitatorio para mover una masa m desde un punto A hasta un punto B también se puede expresar en términos de la diferencia de potencial gravitatorio.

W_A→B = m * (V_A - V_B)

Se mide en Julios (J).

Movimiento de Satélites

Fuerza Gravitatoria y Centrípeta en Órbita

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria (F_g) proporciona la fuerza centrípeta (F_c) necesaria para mantenerlo en su trayectoria.

F_g = F_c = G * M * m / R_órbita²

Donde R_órbita es el radio de la órbita (distancia desde el centro del planeta al satélite).

Velocidad de Escape

La velocidad de escape (v_escape) es la velocidad mínima que debe tener un objeto para escapar del campo gravitatorio de un cuerpo celeste sin propulsión adicional.

v_escape = √(2 * G * M_Tierra / (R_Tierra + h))

Donde M_Tierra es la masa de la Tierra, R_Tierra es el radio de la Tierra, y h es la altura desde la superficie (si el lanzamiento no es desde la superficie). Se mide en m/s.

Velocidad Orbital

La velocidad orbital (v_orbital) de un satélite en una órbita circular a una distancia R (desde el centro del planeta) es:

v_orbital = √(G * M_planeta / R)

Donde R = R_planeta + H (si H es la altura sobre la superficie del planeta). Se mide en m/s.

Período de un Satélite

El período (T) de un satélite en órbita circular se puede calcular a partir de la Tercera Ley de Kepler o de la relación entre la distancia y la velocidad orbital.

Usando la Tercera Ley de Kepler:

T = √(4π² * (R_planeta + H)³ / (G * M_Tierra))

Alternativamente, usando la velocidad orbital:

T = 2π * R / v_orbital = 2π * (R_planeta + H) / v_orbital

Se mide en segundos (s).

Energía Mecánica de un Satélite

La energía mecánica total (E_mec) de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética (E_c) y su energía potencial gravitatoria (Eₚ).

E_mec = E_c + Eₚ = (1/2) * m * v_orbital² - G * M * m / R

Para una órbita circular, v_orbital² = GM/R, por lo que:

E_mec = (1/2) * m * (GM/R) - G * M * m / R = - (1/2) * G * M * m / R

Se mide en Julios (J).

Trabajo para Subir un Satélite desde la Superficie a una Altura h

El trabajo necesario para elevar un satélite desde la superficie de un planeta (radio R_t) hasta una altura h (radio R_t + h) sin darle velocidad orbital es igual al cambio en su energía potencial gravitatoria.

W = Eₚ_final - Eₚ_inicial = (-G * M * m / (R_t + h)) - (-G * M * m / R_t)

W = G * M * m * (1/R_t - 1/(R_t + h))

Se mide en Julios (J).

Trabajo para Poner un Satélite en Órbita desde la Tierra

El trabajo total para poner un satélite en órbita desde la superficie de la Tierra implica tanto elevarlo a la altura de la órbita como darle la velocidad orbital necesaria. Este trabajo es igual al cambio en la energía mecánica del satélite.

W_total = E_mec_final - E_mec_inicial

Donde E_mec_inicial es la energía mecánica en la superficie (solo potencial, si parte del reposo) y E_mec_final es la energía mecánica en órbita.

W_total = (-1/2 * G * M * m / (R_Tierra + H)) - (-G * M * m / R_Tierra)

W_total = G * M * m * (1/R_Tierra - 1/(2 * (R_Tierra + H)))

Se mide en Julios (J).

Trabajo para Cambiar un Satélite de Órbita

El trabajo necesario para cambiar un satélite de una órbita de radio R₁ a otra de radio R₂ es la diferencia entre las energías mecánicas finales e iniciales.

W₁→₂ = E_mec₂ - E_mec₁ = (-1/2 * G * M * m / R₂) - (-1/2 * G * M * m / R₁)

W₁→₂ = (1/2) * G * M * m * (1/R₁ - 1/R₂)

Se mide en Julios (J).

Radio de la Órbita

El radio de una órbita circular (R) puede determinarse a partir de la velocidad orbital o del período orbital.

A partir de la velocidad orbital (v):

R = G * M / v²

A partir del período orbital (T) y la aceleración de la gravedad en superficie (g₀) y radio del planeta (R_Tierra):

R = ³√(g₀ * R_Tierra² * T² / (4π²))

Se mide en metros (m).

Masa del Planeta

La masa del planeta (M) puede calcularse a partir de la velocidad orbital, el radio de la órbita, el período orbital o la aceleración de la gravedad en su superficie.

A partir de la velocidad orbital (v) y el radio de la órbita (R):

M = v² * R / G

A partir del período orbital (T) y el radio de la órbita (R = R_Tierra + h):

M = 4π² * (R_Tierra + h)³ / (T² * G)

A partir de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta (g_planeta) y su radio (R_planeta), en relación con la Tierra:

M_planeta = (g_planeta / g_Tierra) * (R_planeta / R_Tierra)² * M_Tierra

Se mide en kilogramos (kg).

Electrostática Fundamental

Ley de Coulomb

La fuerza eléctrica (F) entre dos cargas puntuales Q y q, separadas por una distancia r, es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

F = k * Q * q / r²

Donde k es la constante de Coulomb (k ≈ 9 × 10⁹ N·m²/C²). Se mide en Newtons (N).

Nota: 3 microcoulombs (3 µC) = 3 × 10⁻⁶ C.

Intensidad del Campo Eléctrico

La intensidad del campo eléctrico (E) en un punto es la fuerza eléctrica por unidad de carga que experimentaría una carga de prueba positiva colocada en ese punto.

E = F / q

Se mide en N/C.

Intensidad del Campo Eléctrico Creado por una Carga Puntual

La intensidad del campo eléctrico (E) creado por una carga puntual Q a una distancia r de ella es:

E = k * Q / r²

Se mide en N/C.

Trabajo y Energía Potencial Eléctrica

La diferencia de energía potencial eléctrica (ΔEₚ) entre dos puntos A y B para una carga q en el campo de una carga Q es:

Eₚ(A) - Eₚ(B) = k * Q * q * (1/r_A - 1/r_B)

Se mide en Julios (J) o electronvoltios (eV).

Si Eₚ(A) - Eₚ(B) > 0, el desplazamiento de la carga es realizado por el campo eléctrico. Si Eₚ(A) - Eₚ(B) < 0, el desplazamiento requiere una fuerza externa al campo.

Diferencia de Potencial Eléctrico

La diferencia de potencial eléctrico (ΔV) entre dos puntos A y B en el campo de una carga Q es:

V(A) - V(B) = k * Q * (1/r_A - 1/r_B)

Se mide en Voltios (V) o J/C.

Relación entre Trabajo, Energía Potencial y Diferencia de Potencial

El trabajo realizado por el campo eléctrico para mover una carga q desde un punto A hasta un punto B es:

W_A→B = Eₚ(A) - Eₚ(B) = q * (V(A) - V(B))

Se mide en Julios (J).