Física de Campos Vectoriales: Propiedades Solenoidales y Conservativas

Propiedades Fundamentales de los Campos Vectoriales

Campos Solenoidales y Fuentes de Flujo

Un campo vectorial se caracteriza por sus propiedades de flujo y circulación. Una propiedad clave es la presencia o ausencia de fuentes de flujo.

• Las fuentes de flujo son puntos o regiones donde las líneas de campo nacen o mueren.
• Si no existen fuentes de flujo en un dominio, el campo es solenoidal. Esto implica que la divergencia del campo es nula (∇ · A = 0). En este caso, las líneas de campo son cerradas o se extienden hasta el infinito sin principio ni fin dentro del dominio.
• Si existen fuentes de flujo, hay un salto finito en el valor del campo o su potencial. Por ejemplo, si V es un potencial escalar asociado al campo A = - ∇V, entonces ∇V no es nulo (de hecho, puede ser infinito en la fuente puntual), lo que indica la presencia de una fuente.

Características de un Campo Solenoidal:

• Si hay fuentes de flujo, el campo no es solenoidal. Por ejemplo, un campo con líneas de campo que son rectas que nacen de un punto.
• Un campo es solenoidal si el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada dentro del dominio se anula. Esto es una consecuencia directa de la ley de Gauss para campos solenoidales.
• Si todas las líneas de campo son cerradas, el campo es solenoidal.

Aplicación: Flujo en un Tubo de Campo

Consideremos un tubo de campo, que es una superficie formada por líneas de campo. Si el campo es solenoidal, se cumple que el flujo es el mismo a través de cualquier sección transversal del tubo. Esto se conoce como la conservación del flujo en un tubo de campo.

Sea Φ el flujo del campo a través de una sección S. Si Φ1 y Φ2 son los flujos a través de dos secciones S1 y S2 respectivamente, entonces:

Φ1 = Φ2

Si una sección es perpendicular al campo en todos sus puntos, la integral de superficie del módulo del campo coincide con el flujo. En este caso, el valor medio del módulo del campo (Am) en esa sección es Am = Φ/S.

Por lo tanto, la relación entre los valores medios del campo en dos secciones S1 y S2 es:

Am2 / Am1 = (Φ2 / Φ1) (S1 / S2)

Dado que Φ1 = Φ2 (por ser un campo solenoidal), la expresión se simplifica a:

Am2 / Am1 = S1 / S2

Esto implica que Am2 S2 = Am1 S1, lo que reafirma la conservación del flujo. Si S2 < S1, entonces Am2 > Am1, es decir, el campo es más intenso donde las líneas están más juntas (menor área transversal).

Campos Conservativos y Circulación

Un campo vectorial es conservativo si el trabajo realizado por el campo al mover una partícula a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo. Esto es equivalente a decir que el rotacional del campo es nulo (∇ × A = 0).

Criterios para un Campo Conservativo:

• Basado en el Rotacional: Si el campo A puede expresarse en coordenadas cartesianas como A(x,y,z) = Ax(x) ax (es decir, un campo con dirección x y cuya magnitud solo depende de x, como en el caso de líneas de campo paralelas al eje x), aplicamos el rotacional:

  ∇ × A = (∂Az/∂y - ∂Ay/∂z) ax + (∂Ax/∂z - ∂Az/∂x) ay + (∂Ay/∂x - ∂Ax/∂y) az

  Para A = Ax(x) ax, los únicos términos a considerar son las derivadas parciales de Ax(x) respecto a 'y' y 'z', las cuales son nulas porque Ax(x) no depende de ellas. Así, el rotacional es nulo (∇ × A = 0) y el campo es conservativo.

• Basado en la Circulación: Un campo es conservativo en un dominio si y solo si la circulación (integral de línea cerrada) sobre cualquier línea cerrada contenida en ese dominio se anula (∮C A · dl = 0).

  Tomaremos la línea C de la figura, compuesta por los tramos MN y PQ, perpendiculares en todo punto al campo A, y NP y QM, paralelos al campo y con el mismo u opuesto sentido, respectivamente, en todos los puntos del tramo. Descomponiendo la circulación en esos cuatro tramos, resulta:

  ∮C A · dl = ∫MN A · dl + ∫NP A · dl + ∫PQ A · dl + ∫QM A · dl

  Dado que los tramos MN y PQ son perpendiculares al campo A, las integrales sobre estos tramos son nulas (A · dl = 0). Por lo tanto, la circulación se reduce a:

  ∮C A · dl = ∫NP A · dl + ∫QM A · dl

  Por tanto, existen dos contribuciones, las integrales sobre NP y QM, de distinto signo (debido a la dirección del recorrido en la trayectoria cerrada). Para que la circulación se anule, ambas contribuciones tendrían que ser iguales en valor absoluto.

  A la vista del mapa de líneas de campo (ver figura), queda claro que:

  • |A(QM)| > |A(NP)|, porque las líneas están más juntas en el entorno de QM, lo que indica una mayor intensidad de campo.
  • La longitud del tramo QM no es necesariamente igual a la longitud del tramo NP.

  Entonces, no es posible determinar cuál de las dos integrales será mayor en valor absoluto o si son iguales sin tener más información del campo A(r). En consecuencia, únicamente con la información de la figura, estrictamente no puede saberse si el campo es conservativo o no.

  Sin embargo, puede razonarse que, en la medida que el campo se parece al campo electrostático de dos cargas del mismo módulo y diferente signo (un dipolo eléctrico), debería ser conservativo, ya que cualquier campo electrostático lo es por definición (su rotacional es siempre nulo).