Fermaten Printzipioa eta Begiaren Optika

Fermaten Printzipioa: Snellen Legea eta Islapenaren Legea

Fermaten printzipioa optika geometrikoaren oinarrizko postulatua da. Fermaten printzipioak dioenez, argiak bi punturen artean segitzen duen ibilbidea bide optikoaren estremal bat da (normalean, minimo bat). Bide optikoa da, argiak puntu batetik bestera joateko behar duen denbora tarte berean, hutsean izango balitz egingo lukeen distantzia. Fermaten printzipioaren ondorioz, argiaren abiadura konstantea denez, argiak puntu batetik bestera hartzen duen denbora tartea “estremala” da (normalean minimo bat).

Printzipio horren ondorio bat da, ingurune homogeneo batean (n errefrakzio indizea konstantea duena) argi-izpiek zuzen bidaiatzen dutela. n konstantea baldin bada, argiaren v abiadura ingurune horretan konstantea da; beraz, n konstantedun ingurune batean puntu batetik bestera denbora minimoan doazen argi-izpien ibilbidea distantzia minimokoa da, hau da, ibilbide zuzena. Ingurunetan ez homogeneoa bada, edo bi puntuak errefrakzio indize desberdineko bi ingurunetan badaude, arazoa konplikatuagoa da.

Fermaten printzipioa erabiliz, deduzi daiteke, errefrakzio indize ezberdineko bi ingurune banatzen dituen gainazal batean gertatzen diren islapenaren eta errefrakzioaren legeak*. Fermaten printzipioaren ondorioz: AC eta CB ibilbideak (biak zuzenak) bai errefrakzio batean eta islapen batean, plano berean kokatuta egon behar dira, gainazalaren normalarekin batera. Horretan oinarrituta, denbora minimoa behar duen ibilbidea kalkulatzea ez da zaila.

Adibidez, errefrakzioaren kasuan, Atik Bra joatean izpiak hartzen duen denbora hauxe da: Tab=n·AC+n’·CB/c=1/c(nV_(AOˆ2+OCˆ2)+n’V_(O’Bˆ2+O’Cˆ2)). Orain, C puntuaren posizioa kalkulatu behar dugu, izpiak Atik braino ibiltzean hartzen duen denbora minimoa izan dadin (kontuan izan A, B, O eta O’ puntuak finkoak direla, aldagai bakarra C da). 0=dTab/dOC=1/c(n·OC/V_(AOˆ2+OCˆ2)-n’·O’C/V_(O’Bˆ2+O’Cˆ2)) zeren O’C=OO’-OC eta hemendik ondokoa ateratzen da: nsin(tita)=n’sin(fi). Ekuazio honi errefrakzioaren (Snellen) legea deritzo.

Arrazoibide bera egiten badugu islapenaren kasuan eta AC eta CB ingurune berean daudela kontuan hartzen badugu (beraz, bi ibilbideak errefrakzio-indize bereko ingurunean geratzen dira), oso erraz atera daiteke honako emaitza: (tita)=(gama) ekuazio horri islapenaren lege deritzo. Bi lege horiek Optika geometrikoaren oinarri dira. Aurrerantzean aztertuko ditugun argi izpiak errefrakzio indize ezberdina duten ingurune homogeneotan zehar bidaiatzen ariko dira, alegia, ingurune bakoitzaren barruan n konstantea. Inguruneak ez homogeneoak badira, eta errefrakzio indizea aldakorra bada, tratamendu konplikatuagoak behar dira.

Dioptrioa, Sistema Optiko Perfektu gisa:

Azter dezagun, hurbilketa paraxiala erabiliz, sistema optiko errefraktatzaile eta zentratu sinpleena: gainazal esferiko bakar bat, errefrakzio indize ezberdineko bi ingurune banatzen dituena. Sistema horri dioptrio deitzen zaio*. Optika paraxialean, zeinu-hitzarmena finkatzea oso garrantzitsua da. Argiaren noranzkoa ezkerretik eskuinerantz hartuta, ondoko hitzarmena erabiliko da:

• Objektuaren edo irudiaren posizioak (horizontalak) gainazalarekiko positiboak izango dira eskuinean baldin badaude, eta ezkerrean negatiboak. Aurreko irudian s<0; s’>0.
• Kurbadura erradioa, r, positiboa izango da gainazalaren zentroa eskuinean baldin badago eta bestela negatiboa. Aurreko irudian, r>0.
• Ardatzarekiko segmentu normalak (bertikalak)positiboak izango dira ardatzetik gorantz badaude eta negatiboak beherantz daudenean. Irudian, y,h>0; y’<0. Hitzarmen horretatik angeluen zeinuak ere atera daitezke (ardatzarekiko): (tita)(+-=)tan(tita)=h/s<0; (tita)’(+-=)tan(tita)’=h/s’>0; (fi)(+-=)tan(fi)=h/r>0.

Froga daiteke, dioptrio bat, optika paraxialean, sistema optiko perfektua dela, alegia, ardatzean dagoen O objektu-puntutik irteten diren izpi guztiak O’ puntuan bilduko direla (O’ ere ardatzean kokatuta). Horretarako, har dezagun izpi bat O-tik irten eta gainazalean erasotzen duena: h altueraz eta E eraso angeluaz. Irudiko OCI triangelutik eta zeinuen hitzarmena erabiliz, ondokoa daukagu: -(sigma)+(fi)+((Pi)-E)=(pi), hau da, E=(fi)-(sigma). O’CI triangeluarekin prozedura bera erabiliz, hauxe lortzen dugu: (sigma)’+E’+((Pi)-(fi))=(pi), hau da, E’=(fi)-(sigma)’. Orain Snellen legea hurbilketa paraxialean, n(tita)=n’(fi), aplikatzen badugu, ondokoa ateratzen da n((fi)-(sigma))=n’((fi)-(sigma)’) eta(tita)(+-=)tan(tita)=h/s<0; (tita)’(+-=)tan(tita)’=h/s’>0; (fi)(+-=)tan(fi)=h/r>0 adierazpena erabiliz, angeluak ordezkatzen badira, honako erlazioa lortzen da: n(1/r-1/s)=n’(1/r-1/s’) edo n’/s’-n/s=n’-n/r. Azken erlazio hori Abberen aldaezina (edo inbariantea) izenaz ezagutzen da.

Ohar gaitezen emaitza hori h-ren independentea dela, alegia, O-tik irteten diren izpi guztiak (gainazaletik s distantziara), dioptrioan errefraktatu ondoren, O’ puntura iritsiko direla (gainazaletik s’ distantziara), h altuera edozein dela ere; Dioptrioaren berezko parametroak ezagututa (n, n’ eta r) eta O objektuaren posizioa ezagututa (s), aurreko adierazpenetik, O’ irudiaren posizioa kalkula daiteke (s’). Tratamendu bera egin daiteke ardatzetik kanpo dagoen eta O-tik pasatzen den planoan kokatuta dagoen P puntuarekin; froga daiteke, puntu horretatik irten diren eta gainazalean errefraktatzen diren izpi guztiak sistemaren ardatzaren normala den eta O’ tik pasatzen den planoaren P’ puntuan ebakitzen direla. P puntutik ardatzerainoko distantzia y baldin bada eta P’ puntutik ardatzerainoko distantzia y’ bada, orduan honako erlazioa betetzen da: y’=ns’y/n’s. honekin frogatzen da, dioptrioa sistema optiko perfektua dela, inposatutako hiru baldintzak betetzen direlako, eta honela definitzen da albo-handitzea (beta)’=y’/y=ns’/n’s. Garbi ikusten da, hurbilketa paraxialean, dioptrio bat sistema optiko perfektua bada, orduan dioptrio zentratuekin egindako edozein konposaketa ere sistema perfektua izango dela.

Dioptrioaren konklusioetatik ispilu esferikoetarako konklusioak ere labur-labur atera daitezke. Ispilu esferikoak sistema islatzaile sinpleenak dira: islapen-angelua eta eraaso angelua berdinak direnez, eta islapenean argiaren noranzkoa alderaantzikatu egiten denez, Snellen legeak, islapenerako ere baalio du, baina n’=-n erlazioa erabiliz; horrela, Abberen aldaezina eta albo-handitzea ispilu esferikoen kasuan honela idatz daitezke: 1/s’+1/s=2/r; (beta)’=-s’/s. r>0 bada, ispiluak konbexuak edo ganbilak deitzen dira eta r<0 denean, berriz, ispiluak konkaboak edo ahurrak. Ispilua plano bada (r=(infinito)) eta s’=-s eta (beta)’=1.

Lente Meheak:

Lenteak beirazko edo beste material gardenezko xaflak dira. Bi aldeetatik leunduak izan dira, eta euren gainazalak esferikoak direla kontsidera dezakegu. Izatez, lenteak bi dioptrioz osatutako sistema optikoa dira, eta, beraz, sistema optiko perfektuak hurbilketa paraxialean. Atal honetan, kasu sinpleena aztertuko da, baina praktikan oso maiz agertzen dena: lente meheak. Lente meheetan, lentearen lodiera (bi gainazalen arteko distantzia) mesprezatu egin daiteke. Atal honetan kasu arruntena kontsideratuko dugu soilik: lente bat airetan murgilduta, hots, lentearen bi aldeetan errefrakzio indizea 1 izango da; beraz, lortzen diren emaitzek kasu horretan soilik balioko dute. Hala ere, erraza da beste kasuetarako hedatzea emaitza horiek*. Lente mehea bi dioptrioz osatutako sistema denez, Abberen aldaezina aplika dezakegu dioptrio bakoitzerako. Objektua lentetik a distantziara badago (zeinua barne) eta bi dioptrioei Abberen aldaezina aplikatuz, hurrenez hurren, hauxe lortzen da:

1.dioptrioa -n/a’’=-1/a-n-1/r1; 2.dioptrioa 1/a’-n/a’’=1-n/r2 hemen n da lentearen errefrakzio indizea (lentearen bi aldeetan dagoen airearena 1 hartzen da); r1 eta r2 dioptrioen kurbadura erradioak dira, hurrenez hurren, ezkerrekoa eta eskumakoa. Objektuaren posizioa lentearekiko a deitu dugu, bitarteko irudiaren posizioa (lehenengo dioptrioan errefraktatu ondoren lortzen dena eta bigarren dioptrioarentzat objektua izango dena) a’’ deitu dugu, eta irudiaren posizio finala a’ izango da. Bi erlazio horiek konbinatuz, a’’ kanporatzen da eta ondokoa lortzen da: 1/a’-1/a=(n-1)(1/r1-1/r2)=1/f’ bigarren atala soilik lentearen berezko parametroen menpekoa da. Bi dioptrien albo-handitzeak konbinatuz, lentearen albo-handitzea lortzen da: (beta)’=(beta)1’(beta)2’=a’’na’/naa’’=a’/a.

1/a’-1/a=(n-1)(1/r1-1/r2)=1/f’ adierazpenaren bigarren atala lentearen ahalmen edo potentzia optikoa deitzen da, eta dioptria izeneko unitatetan adierazten da, r1 eta r2 kurbadura-erradioak metrotan adierazten badira. Ahalmenaren alderantzizkoa, dimentsionalki, distantzia bat da eta lentearen distantzia fokala deitzen da: f’ adierazten da; objektua infinituan kokatuta dagoenean, irudia lentetik f’ distantziara eratzen da (hots, aurreko ekuazioan a=-(infinito) bada, orduan a’=f’ da). Irudi hori eratzen den planoa irudi plano fokala deitzen da eta plano horrek ardatzarekin duen ebakidura, irudi-puntu fokala, F’. Bestalde, objektua lentearen aurrean ipintzen bada, fokalaren distantzia berera, aurreko ekuaziotik ateratzen da irudi erresultantea infinituki urrun dagoela; objektu hori ipintzen den planoa objektu-plano fokala deitzen da eta plano horrek ardatzarekin duen ebakidura objektu-puntu fokala, F. Lente meheak irudikatzeko, ** irudietan agertzen diren ikurrak erabiltzen dira. f’>0 denean, lenteak konbergente edo hurbiltzaileak deitzendira, f’<0 denean, berriz, dibergente edo urruntzaileak.

Begia Tresna Optiko gisa:

Gizakiek munduarekin duten harremanean ikusmena erabat funtsezkoa da. Begietatik iristen zaigu, gutxi gora behera, gure ingurutik jasotzen dugun informazioaren %70a. begia tresna optiko naturala da, oso ona baina, noski, mugak dauzka: adibidez, oso objektu txikiak behatzeko edo oso urrun dauden gauzak ikusteko.

1)Ezaugarriak:

Begiak tresna optiko gisa nola funtzionatzen duen hobeto ulertzeko, aipa ditzagun lehenik datu anatomiko batzuk. Begiari kolorea ematen dion diskoa irisa da eta bere erdiko irekigunetik, begi ninitik, argia sartzen da; begi-niniaren zabalera aldakorra da, argitasunaren arabera. Argi izpiak kornea-kristalino sistemaren bitartez erretinan enfokatzen dira, begiaren atzeko aldean dagoen geruza fin eta sentikorra. Kornea argi izpiek konbergitu egiten dute eta gero kristalinoarekin konbergentzia hori erregula daiteke. Kristalinoa lente bikonbexu itxurako ehun zelularra da (ganbilbikoa) eta muskulu ziliarren bitartez distantzia fokala alda dezake. Kristalinoari esker distantzia ezberdinetara dauden objektuak erretinan enfokatu daitezke*. Beraz, begia sistema optiko konplexu samarra da. Hala ere, sinplifikatzeko, fokal aldakorra duen lente konbergente soil batez ordezkatuko ditugu osagai horiek guztiak*. Lente hori erretinatik, alegia, irudiak eratu behar diren lekutik, 22mm-ra dago (hitzarmenez hartutako batezbestekoa da balio hori). Objektu baten tamaina erreala y da (tamaina lineala) eta (alfa) tamaina angeluarra; begitik objekturainoko distantziaz (D, behaketa distantzia) erlazionatzen dira bi magnitudeok: tg(alfa)=y/D.

2)Egokitzea:

Gogora dezagun lenteen ekuazioa: 1/a’-1/a=1/f’. Begiaren potentzia finkoa balitz (distantzia fokalaren alderantzizkoa da potentzia), a’ beti 22mm inguru denez, distantzia konkretu batera dauden objektuak soilik emango lukete irudi on bat erretinan. Oso urrun dagoen objektu bat (a handia) erretinan enfokatzeko, begiak 22mm inguruko distantzia fokala behar du (45 dioptria inguru) eta objektu hori hurbil dagoenean, berriz, (a txikia) distantzia fokala txikiagoa behar du (potentzia handiagoa). Zorionez, begiak potentzia aldatzeko gaitasuna du, muskulu ziliarren bitartez, urruti edo gertu dauden objektuen irudiak erretinan eratzeko. Begia erlaxatuta dagoenean, kristalinoaren distantzia fokala maximoa da. Hauxe da begiarentzako egoera erosoena, eta gutxien nekatzen duena. Hurbilago dagoen objektu bat ikusteko (alegia, bere irudia erretinan enfokatzeko), muskuluak estutu egiten dira, kristalinoaren kurbadura handitzen dute eta distantzia fokala laburtu. Zoritxarrez, prosezu horrek muga bat dauka: objektu bat garbi ikusi ahal dugun distantzia minimoari puntu hurbila deritzo (PH). Ume baten PHa 7cm-koa izan daiteke, heldu gazte batena 25cm-koa izan ohi da eta ez hain gazte batena 100cm-koa ere izan daiteke. Balio estandarra hartzen da d0=25cm-koa. Badago, baita ere, objektu bat ondo enfokatuta ikusten den distantzia maximoa: puntu urruna deritzo (PU) eta begi normal baterako infinitua dela kontsideratzen da. Begiaren egokitze-anplitudea da muturreko bi distantzien alderantzizkoen kenketa: A=1/PU-1/PH. Begi normal batean, egokitze-anplitudea 4 dioptriakoa hartzen da (distantziak metrotan adierazi behar dira).

3)Ikusmenaren akatsak:

Konbergentzia-akatsik ez duen begi bati emetrope deritzo (PU=(-infinitu), PH=-25cm), eta akatsen bat duen begiari ametrope. Ametropia mota ezagunenak bi dira: miopia eta hipermetropia.

• Miopia: Kristalinoaren konbergentzia gehiegizkoa da (edo begiaren aurretik atzerako diametroa, luzeegia), orduan begi erlaxatuaren lentearen irudi-fokua erretinaren aurrean dago. Beraz, PUa ez da infinituan egongo, hurbilago baizik, horregatik, miopeek gaizki ikusten dituzte urruti dauden objektuak. Bestalde, miopiak abantailarik ere badu, PHa d0 normala baino gertuago baitago**. Akats hori zuzentzeko lente dibergenteak erabiltzen dira, infinituan dagoen objektu baten irudia begi horren PUean ematen du eta horrela begiak ondo enfoka dezake. Begi miopeak behar duen lentearen potentzia honela kalkula daiteke: 1/a’-1/a=1/f’=(Fi)’; 1/PU-1/-(infinitu)=1/f’=(Fi)’. Hortaz, PU=f’; adibidez, PU=-50cm duen begi batek -0,50m fokaleko lente dibergente bat behar du, edo bestela esanda (Fi)’=-2 dioptriakoa. Eta alderantziz, miope baten dioptriak ezagutuz gero, bere PUIa non dagoen jakin daiteke. Bestalde, betaurrekoak jarrita, PHa urrundu egiten da d0=25cm distantziaraino.
• Hipermetropia:Kasu honetan kristalinoa ez da behar bezain konbergentea (edo begiaren diametro horizontala motzegia da), orduan begi erlaxatuaren lentearen irudi fokua erretinaren atzean dago. Honen ondorioz PHa normala baino urrunago dago. Horregatik hipermetropeek ez dute ondo ikusten gertuan. Bestalde, PUa birtuala da, baina hori ez da oztopoa urruti dauden gauzak ikusteko. Hipermetropia zuzentzeko, lente konbergenteak erabiltzen dira, d0=25cm-ko distantziara (PH normala) dagoen objektu baten irudia begi horren PHean emateko, begiak ondo behatu ahal dezan. Begi hipermetropeak behar duen lentearen potentzia honela kalkula daiteke**. 1/a’-1/a=1/f’=(Fi)’; 1/PH-1/-d0=1/f’=(Fi)’. Adibidez, PH=125cm duen hipermetrope batek +3,2 dioptriako betaurrekoak beharko ditu 1/-1,25-1/-0,25=1/f’=(Fi)’; (Fi)’=+3,2dioptria. Bestalde, begi hipermetropeak ez du eragozpenik urrutiko objektuak ikusteko baina, betaurrekoak jarrita, bere PU infinituan kokatzen da.