Factorización de polinomios: casos y ejemplos

Caso I - Factor común DG

Este es el caso de factorización más sencillo, consiste en buscar un factor común y dividir todo por ese factor. { displaystyle a^{2}+ab=a(a+b)}

{ displaystyle 9a^{2}-12ab+15a^{3}b^{2}-24ab^{3}=3a(3a-4b+5a^{2}b^{2}-8b^{3})}

 a · b + a · c = a · (b + c)  

{ displaystyle ab+ac+ad=a(b+c+d) ,}

{ displaystyle ax+bx+ay+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) ,}  si y solo si el polinomio es 0 y el cuatrinomio nos da x.

Factor común por polinomio igual:

Lo primero que se debe hacer colocar la base o el polinomio:

{ displaystyle 5x^{2}(x-y)+3x(x-y)+7(x-y) ,}

Se aprecia que se repite el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será sencillamente lo que queda del polinomio original, es decir:

{ displaystyle (5x^{2}+3x+7) ,}

La respuesta es:

{ displaystyle (5x^{2}+3x+7)(x-y) ,}

En algunos casos se debe utilizar el número,1, por ejemplo:

{ displaystyle 5a^{2}(3a+b)+3a+b ,}

Se puede utilizar como:

{ displaystyle 5a^{2}(3a+b)+1(3a+b) ,}

Entonces la respuesta es:

{ displaystyle (3a+b)(5a^{2}+1) ,}

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta dos características, el poli y el nomiotérminos repetidos como variables y números sin factor común, se identifica ya que tiene un número par de términos.

ejemplos :

Factorizar el polinomio ax + ay + 4x + 4y por agrupación de términos.

Observa que los dos primeros términos del polinomio tienen por factor común a.

Los dos &últimos términos del polinomio tienen por factor común " 4" y por tanto:

ax + ay + 4x + 4y =(ax + ay)+(4x + 4y)

Agrupando términos. = a(x + y) + 4(x + y)

Factorizando cada grupo por factor común. = (x + y)(a + 4)

Factorizando toda la expresión anterior por factor común.

Caso III - Trinomio cuadrado perfecto

Artículo principal: Trinomio cuadrado perfecto.

Si se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un trinomio cuadrado perfecto debemos reordenar los términos dejando el primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, o también podemos organizarlos ascendente o descendente (tanto el primero como el tercer termino deben ser positivos); luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

{ displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ,}

{ displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ,}

Ejemplo 1:

{ displaystyle (5x-3y)^{2}=25x^{2}-30xy+9y^{2} ,}

Ejemplo 2:

{ displaystyle (3x+2y)^{2}=9x^{2}+12xy+4y^{2} ,}

Ejemplo 3:

{ displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2} ,}

Ejemplo 4:

{ displaystyle 4x^{2}+25y^{2}-20xy ,}

Organizando los términos tenemos:

{ displaystyle 4x^{2}-20xy+25y^{2} ,}

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

{ displaystyle (2x-5y)^{2} ,}

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados perfectos

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado, unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b),(a+b), uno negativo y otro positivo).

{ displaystyle (ay-bx)(ay+bx)=(ay)^{2}-(bx)^{2} ,}

O en una forma más general para exponentes pares:

{ displaystyle (ay)^{2n}-(bx)^{2m}=((ay)^{n}-(bx)^{m})((ay)^{n}+(bx)^{m}) ,}

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

{\displaystyle (ay)^{n}-(bx)^{m}=((ay)^{n/{2^{r}}}-(bx)^{m/{2^{r}}})\cdot \prod _{i=1}^{r}((ay)^{n/{2^{i}}}+(bx)^{m/{2^{i}}})}

Ejemplo 1:

{\displaystyle 9y^{2}-4x^{2}=(3y)^{2}-(2x)^{2}=(3y+2x)(3y-2x)\,}

Ejemplo 2:

Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

{\displaystyle (2y)^{6}-(3x)^{12}24567((2y)^{6/2^{2}}-(3x)^{12/2^{2}})\cdot \prod _{i=1}^{2}((2y)^{6/{2^{i}}}+(3x)^{12/{2^{i}}})=\,}

{\displaystyle ((2y)^{6/2^{2}}-(3x)^{12/2^{2}})\cdot ((2y)^{6/2^{2}}+(3x)^{12/2^{2}})\cdot ((2y)^{6/2}+(3x)^{12/2})=\,}

{\displaystyle ((2y)^{3/2}-(3x)^{3})\cdot ((2y)^{3/2}+(3x)^{3})\cdot ((2y)^{3}+(3x)^{6})\,}

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante una suma para que sea el doble producto de las dos raíces (es decir, para completar el Trinomio Cuadrado Perfecto T.C.P.), el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

{\displaystyle =x^{2}+xy+y^{2}}

{\displaystyle =x^{2}+xy+y^{2}+(xy-xy)}

{\displaystyle =x^{2}+2xy+y^{2}-xy}

{\displaystyle =(x+y)^{2}-xy}

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c o trinomio simple perfecto

Se identifica por tener tres términos, hay un literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio..

Ejemplo:

{\displaystyle a^{2}+2a-15=(a+5)(a-3)\,}

Ejemplo:

{\displaystyle x^{2}+5x+6=(x+3)(x+2)\,}

Caso VII - Trinomio de las formas ax² + bx + c o trinomio compuesto

En este caso se tienen 3 términos: el primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea, sin una parte literal, así:

{\displaystyle 4x^{2}+12x+9\,}

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término

{\displaystyle 4x^{2}(4)+12x(4)+(9\cdot 4)\ }

{\displaystyle 4^{2}x^{2}+12x(4)+36\,}

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

{\displaystyle 6\cdot 6=36}

{\displaystyle 6+6=12\,}

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

{\displaystyle (4x+6)(4x+6)\,}

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :

{\displaystyle {\frac {(4x+6)(4x+6)}{4}}\,}  :{\displaystyle ={\frac {(4x+6)}{2}}\cdot {\frac {(4x+6)}{2}}\,}

Queda así terminada la factorización :

{\displaystyle (2x+3)(2x+3)\,} {\displaystyle =(2x+3)^{2}\,}

Caso VIII - Suma o diferencia de potencias impares iguales

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

{\displaystyle x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-...-xy^{n-2}+y^{n-1})\,}

Ejemplo:

{\displaystyle x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)\,}

{\displaystyle x^{4}-y^{4}=(x+y)(x^{3}-x^{2}y+xy^{2}-y^{3})\,}

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera: Ejemplo:

{\displaystyle x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)\,}

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,}

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso IX - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su proceso consiste en los siguientes pasos: Suma o diferencia de cubos: a³ ± b³

Suma de cubos

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces cúbicas de ambos términos (a + b)

El cuadrado del primer término, [ a² ]

[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] El cuadrado del segundo término; [ b² ]

Ejemplos:

x⁶ + y⁶

Se reescribe la ecuación, de tal manera que se pueda factorizar utilizando la suma de cubos.

(x³)² + (y³)²

De esta manera se podra realizar utilizando la suma de cubos, estableciendo ahora que a = x² y b = y²

(x² + y²) ((x²)² - x²y² + ((y²)²)

(x² + y²) (x⁴ - x²y² + y⁴)

Diferencia de cubos

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces cubicas de ambos términos (a - b)

El cuadrado del 1er termino, [ a² ]

[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]

[ + ] el cuadrado del 2º término; [ b² ]

Caso X: Posibles ceros

En este primer paso los posibles ceros es el cociente de la división de los divisores del término independiente del polinomio que no está acompañado de una variable entre los divisores del coeficiente principal^[1] y se dividen uno por uno.

Nota: Para un mejor entendimiento, este método se explica con el siguiente ejemplo.

Si el enunciado es este:

{\displaystyle x^{3}+x^{2}-5x-6}

Se ve que el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 1. Para sacar los posibles ceros se procede de la siguiente manera:

{\displaystyle Pc={\frac {\pm (1,2,3,6)}{\pm (1)}}=\pm (1,2,3,6)}

Donde se puede notar que como se menciono anteriormente cada divisor de arriba fue dividido por el de abajo; es decir, que el uno se dividió entre uno; el dos se dividió entre uno; el tres se dividió entre uno y por último el seis se dividió entre uno.

Regla de Ruffini (división algebraica)

Ahora se divide por regla de Ruffini, donde se toma como dividendo los coeficientes del enunciado, como divisor los posibles ceros y se prueba con la regla de Ruffini hasta que salga la división exacta (es decir, residuo cero).

{\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-5&-6\\-2&{}&{-2}&{2}&{6}\\\hline {}&1&{-1}&{-3}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}

Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.

Dos términos

Ahora nuestra respuesta consta de 2 términos

Primer término

El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 . eso quiere decir que nuestro primer término es x+2
Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la forma x+a .

Segundo término

El segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el segundo término es x²-x-3 .
Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por aspa simple; si ese es el caso, se debe descomponer.

Resultado final

El resultado final es el siguiente:

{\displaystyle (x+2)(x^{2}-x-3)}

Nota: Se debe dejar así, no se debe multiplicar, puesto que eso sería retroceder todos los pasos.