Factorización LU, estabilidad y condicionamiento en sistemas lineales

Introducción

Dado el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde A admite una descomposición L–U tal que A = LU, se plantean a continuación varios problemas relacionados con la factorización, la resolución, las perturbaciones y el condicionamiento.

Problema 1

Enunciado:

b =                 (vector b no mostrado explícitamente en el enunciado).

a) Resolver el sistema Ax = b utilizando las matrices L y U.

b) Si nos proporcionan una solución aproximada      del sistema perturbado Ax' = b', calcular la variación en el término independiente (b' − b).

c) A partir de los resultados de los apartados anteriores, dar una estimación del condicionamiento de A para la norma infinito. Comentar los resultados obtenidos.

Problema 2

Enunciado:

Dada la matriz (no se muestra explícitamente en el enunciado):

Se pide:

• a) Calcular la factorización LU de la matriz A (sin permutación de filas ni columnas) e indicar para qué valores de α es válida dicha factorización. L = matriz triangular inferior con l_ii = 1 para i = 1, 2; U = matriz triangular superior.
• b) Calcular el determinante de A utilizando la factorización LU anterior (cuando ésta exista).
• c) Si α = −1, calcular la segunda columna de A⁻¹ utilizando la factorización LU.

Problema 3

Enunciado:

Sea el sistema Ax = b con (aquí el enunciado contiene símbolos y matrices representadas por caracteres especiales):

                              

• a) Calcular la factorización LU sin pivotaje de la matriz A, tal que A = LU. Resolver el sistema Ax = b utilizando las matrices L y U.
• b) Cambiamos el vector b por un nuevo vector:

           . Sin resolver, calcular la variación relativa máxima posible entre la solución del sistema Ax = b y la del sistema perturbado Ax' = b'. Comentar el comportamiento del error en función del parámetro α (o del parámetro indicado en el enunciado, aquí representado por caracteres especiales).

• c) Si la solución del sistema Ax' = b' es:

            . Calcular el error relativo   y comprobar si se cumple la cota superior calculada en el apartado anterior.

Problema 4

Enunciado:

Dada la matriz:

Se pide:

1. Calcular la factorización LU de la matriz A, siendo L una matriz triangular con l_ii = 1 para i = 1, 2, 3 y U una matriz triangular superior.

2. ¿Para qué valores de a es la matriz A no singular?

3. Si α = 10⁻³, empleando la factorización LU anterior, calcular la tercera columna de A⁻¹.

4. Calcular, sin resolver los sistemas, la variación relativa máxima posible entre la solución del sistema Ax = (valor no mostrado) y la del sistema perturbado Ax' = (valor no mostrado).

Problema 5

Enunciado:

Sea la matriz A =                y el vector b = (no mostrados explícitamente).

• a) Calcular la factorización LU de la matriz A, donde los elementos diagonales de la matriz L son iguales a 1.
• b) Aplicar la factorización LU para resolver el sistema Ax = b.
• c) Sabiendo que A⁻¹ =            , calcular el número de condición de la matriz A, utilizando la norma matricial subordinada a la norma vectorial 1.
• d) Sea el sistema lineal (con una perturbación del término independiente b), cuya solución es (no mostrada explícitamente). Responder: ¿Están próximas la solución x del problema original y la solución x' del problema perturbado?

- Calcular el error relativo en la solución y el error relativo en el término independiente.
- Relacionar convenientemente los errores anteriores y comentar dichos resultados.

Problema 6

Enunciado:

Dado el sistema lineal Ax = b (valores no mostrados), cuya solución es x = (1, 1, ... ) (se indica como 1, 1), se pide:

• a) Calcular la segunda columna de A⁻¹ utilizando la factorización LU de la matriz A.
• b) Calcular, en la norma ∞, el número de condición de la matriz A.
• c) Si se produce una pequeña perturbación en los datos, el sistema resultante es (no mostrado explícitamente). Sin resolver el sistema, estudiar cómo afecta esta perturbación a la nueva solución respecto de la anterior.

Comentarios y recomendaciones

• Cuando falten datos numéricos en el enunciado (matrices o vectores no mostrados), es necesario disponer de la representación completa de A y b para realizar cálculos numéricos concretos (factorización LU, determinante, cálculo de columnas de la inversa, etc.).
• Para estimar el condicionamiento en la norma infinito o en la norma 1, utilice la definición clásica: cond(A) = ||A|| · ||A⁻¹||, donde las normas son las correspondientes subordinadas.
• Al estudiar perturbaciones, relacione el error relativo en la solución con la variación relativa en el término independiente mediante desigualdades del tipo:
  • ||Δx|| / ||x|| ≤ cond(A) · (||Δb|| / ||b||), para normas subordinadas y pequeñas perturbaciones.
• Si la factorización LU sin pivotaje no existe (por ceros en pivotes), considere el uso de pivotaje parcial (PA = LU) para garantizar la estabilidad numérica.

Observación final

El texto original contiene varios bloques donde faltan las matrices y vectores explícitos o aparecen símbolos no interpretables. He conservado todos los elementos y marcadores originales (incluidos y ) y he corregido la ortografía, la gramática y la puntuación, así como la estructura del documento para facilitar su lectura y su indexación en buscadores. Para resolver numéricamente cada apartado es necesario incorporar las matrices y vectores completos en los lugares indicados.