Factorización de expresiones algebraicas: métodos, casos y ejemplos resueltos

Factorización de expresiones algebraicas: casos y ejemplos resueltos

1er caso

5a2 - 15ab - 10 ac

El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto:

5a² - 15ab - 10ac = 5a·a - 5a·3b - 5a·2c = 5a(a - 3b - 2c)

2do caso

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a) + (2bx - by + 5b)

Saco el factor común de cada grupo:

a(2x - y + 5) + b(2x - y + 5)

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

(2x - y + 5)(a + b)

3er caso

Identidades de cuadrados perfectos y ejemplos:

• a² + 2ab + b² = (a + b)²
• 4x² – 20xy + 25y² = (2x – 5y)(2x – 5y) = (2x – 5y)²
• 16 + 40x² + 25x⁴ = (4 + 5x²)(4 + 5x²) = (4 + 5x²)²
• 9b² – 30a²b + 25a⁴ = (3b – 5a²)(3b – 5a²) = (3b – 5a²)²
• 400x¹⁰ + 40x⁵ + 1 = (20x⁵ + 1)(20x⁵ + 1) = (20x⁵ + 1)²

4to caso

Diferencia de cuadrados:

9y² - 4x² = (3y - 2x)(3y + 2x)

5to caso

Factorización combinada (uso de cuadrados y diferencia de cuadrados):

Expresión inicial repetida en el original para su desarrollo:

4a⁴ + 8a²b² + 9b⁴

Se realiza la descomposición manipulando términos:

4a⁴ + 8a²b² + 9b⁴
+ 4a²b²        - 4a²b²

4a⁴ + 12a²b² + 9b⁴ - 4a²b² = (4a⁴ + 12a²b² + 9b⁴) - 4a²b²

(4a⁴ + 12a²b² + 9b⁴) - 4a²b²
(2a² + 3b²)² - 4a²b²

Aplicando la diferencia de cuadrados:

(2a² + 3b²)² - (2ab)² = [(2a² + 3b²) + 2ab] · [(2a² + 3b²) - 2ab]

Por lo tanto:

4a⁴ + 8a²b² + 9b⁴ = [2a² + 2ab + 3b²] · [2a² – 2ab + 3b²]

6to caso

Trinomios de la forma x² + bx + c. Ejemplos:

• x² + 5x + 6
• a² – 2a – 15
• m² + 5m – 14
• y² – 8y + 15

Condiciones de este tipo de trinomios:

• El coeficiente del primer término es 1.
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es cualquier número, positivo o negativo.
• El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo término y es cualquier número, positivo o negativo.

7mo caso

Factorización de trinomios cuando el coeficiente principal no es 1 (método AC):

Ejemplo: 6x² - 7x - 3

1. Se multiplica el coeficiente del primer término (6) por el término independiente (-3): 6 · (-3) = -18.
2. Se reescribe el trinomio pensando en (6x)²: 36x² - 42x - 18 (procedimiento intermedio al manejar 6x como unidad para la factorización).
3. Se considera (6x)² - 7(6x) - 18, interpretando la factorización respecto a 6x como una variable auxiliar.
4. Se forman dos factores binomios con la raíz cuadrada del primer término: (6x - ?)(6x + ?).
5. Se buscan dos números cuya suma (o diferencia, según la forma) sea -7 y cuyo producto sea -18; esos números son -9 y +2, porque -9 + 2 = -7 y (-9) · 2 = -18. Así: (6x - 9)(6x + 2).
6. Variante: como al principio multiplicamos por 6 (técnica auxiliar), ahora dividimos los factores binomios entre factores que den 6 y simplificamos. Descomponemos 6 en 3 · 2 de modo que uno divida a un binomio y el otro al otro binomio:
   (6x - 9) / 3 = 2x - 3
   (6x + 2) / 2 = 3x + 1
   Quedando la factorización final: (2x - 3)(3x + 1).

8vo caso

Factorización de un cubo perfecto (cubo de un binomio):

Ejemplo: 8a³ - 36a²b + 54ab² - 27b³

La raíz cúbica de 8a³ es 2a.

La raíz cúbica de 27b³ es 3b.

Verificamos los términos intermedios mediante 3(2a)²(3b) = 36a²b y 3(2a)(3b)² = 54ab². Como los signos alternan (+, -, +, -), la expresión dada es el cubo de (2a - 3b):

(2a - 3b)³

9no caso

Reglas para la suma y diferencia de cubos perfectos:

Regla 1 — Suma de dos cubos perfectos

La suma de dos cubos se descompone en dos factores:

1. La suma de sus raíces cúbicas.
2. El cuadrado de la primera raíz menos la multiplicación de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Fórmula: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Regla 2 — Diferencia de dos cubos perfectos

La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores:

1. La diferencia de sus raíces cúbicas.
2. El cuadrado de la primera raíz más la multiplicación de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Fórmula: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Nota: Se han presentado los procedimientos paso a paso para cada caso, con las identidades algebraicas comunes y ejemplos explícitos para facilitar la comprensión de la factorización en distintos escenarios.