Explorando las Razones Trigonométricas y la Circunferencia Trigonométrica

Razones Trigonométricas Recíprocas

5. Se llama **secante** del ángulo a la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

• sec α = AB/AC = c/b = hipotenusa/cateto adyacente = h/C.A = sec α = 1/cos α

6. Se llama **cosecante** del ángulo α a la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

• csc α = AB/BC = c/a = hipotenusa/cateto opuesto = H/C.O = csc α = 1/sen α

Circunferencia Trigonométrica

Definición y Propiedades

Obj 2. Circunferencia trigonométrica

Partimos de la circunferencia trigonométrica de radio unitario e imaginamos que el punto P de coordenadas (x,y) parte de A y hace un recorrido a través de la circunferencia moviéndose en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo).

Al tomar como radio la unidad, pueden definirse las razones trigonométricas del ángulo α o del arco AP de la siguiente forma:

1.) Sen α = Y/1 = sen α = Y

De esta expresión definimos que el seno del ángulo es igual a la coordenada del seno del extremo del arco AB trazado con el radio unidad.

2.) Cos α = X/1 = cos α = X

De la expresión definimos que: el coseno del ángulo es igual a la abscisa del extremo del arco AB trazado con el radio unidad.

3.) Tag α = Y/X

De la expresión definimos: la tangente de un ángulo es el cociente entre la ordenada y la abscisa X.

De igual forma, la cotangente, la secante y la cosecante del ángulo α son respectivamente, los inversos de la tangente, el coseno y el seno de α.

Signos de las Razones Trigonométricas por Cuadrante

El signo dependerá del cuadrante en que se encuentre situado el ángulo, ya que entonces se conoce el signo de las abscisas y la ordenada.

El signo de la tangente se obtiene por el cociente entre el signo del seno y el signo del coseno.

Cuadrante I

Sen: +

Cos: +

Tag: +

Cuadrante II

Sen: +

Cos: -

Tag: -

Cuadrante III

Sen: -

Cos: -

Tag: +

Cuadrante IV

Sen: -

Cos: +

Tag: -

En este cuadro aparecen resumidos los signos correspondientes de cada una de las razones trigonométricas en cada uno de los diferentes cuadrantes.

Es importante hacer notar que las funciones cosecante, secante y cotangente son los recíprocos de los del seno, coseno y tangente, por lo que los signos de los primeros son respectivamente iguales a los de los 3 últimos.

Reducción de Ángulos al Primer Cuadrante

Es posible calcular los valores funcionales de un ángulo cuyo lado terminal forme un ángulo de 30, 45 o 60 grados con el eje X. Este ángulo agudo positivo, formado entre el lado terminal del ángulo en posición estándar y el eje X, recibe el nombre de ángulo de referencia. Es de notarse que un ángulo de referencia se define solo para un ángulo cuyo lado terminal no está ubicado sobre el eje X o sobre el eje Y.

En general, para hallar los valores funcionales de un ángulo, hallamos los del ángulo de referencia y colocamos delante de estos el signo apropiado. Para su estudio analizaremos 4 casos referidos a un ángulo de referencia.

1). Si el ángulo está en el segundo cuadrante.

Si θ está en el segundo cuadrante se tendrá que: αr = 180 - θ = ángulo resultante es igual a 180 menos θ.

2). Si el ángulo está en el tercer cuadrante.

Si θ está en el tercer cuadrante se tendrá que: αr = θ - 180 grados.

3). Si el ángulo está en el cuarto cuadrante.

Si θ está en el cuarto cuadrante se tendrá que: αr = 360 grados - θ.

4). Cuando el ángulo es positivo y mayor de 360 grados.

Si el ángulo es mayor que 360 grados se procede a dividir su valor entre 360 grados y se toma el residuo. Al dividirse no deben ser eliminados los ceros del dividendo y el divisor ya que esto altera el resultado del residuo.