Explorando Poliedros: Tipos, Propiedades y Cálculo de Áreas

Descomposición de la Esfera en Cuadriláteros

La superficie de la esfera no puede desarrollarse en el plano, pero podemos descomponerla en cuadriláteros que se asemejen a cuadrados. Proyectando desde el centro, cada uno de los cuadrados se obtiene una pirámide, cuyo volumen es V = 1/3 S.h = 1/3 S.r

La suma de todos los volúmenes de las pirámides es el volumen de la esfera y, como la suma de las áreas de los cuadrados es:

• Área de la esfera = 4πr²
• Volumen de la esfera = 4πr³/3

Poliedros: Definición y Elementos

Los poliedros son cuerpos geométricos limitados por polígonos, que son las caras del poliedro. Los lados y vértices de las caras reciben el nombre de aristas y vértices del poliedro.

Ángulos Poliedros

• Ángulos diedros: Son los formados por dos caras consecutivas.
• Ángulos triedros: Formados por tres caras que coinciden en un vértice.
• Ángulos poliedros: Formados por un número finito de caras que tienen un vértice común.

Partes del Poliedro

• Caras: Cada polígono que limita al poliedro.
• Aristas: Cada segmento generado por la intersección de las caras.
• Vértices: Punto de intersección de dos aristas.
• Ángulo Diedro: Ángulo formado por dos caras con una arista común.
• Ángulo Poliedro: Ángulo formado por varias caras con una arista en común.
• Diagonal: Segmento que une dos vértices no situados en la misma cara.

Poliedros Regulares

Un polígono es regular cuando:

• Tiene ángulos diedros y poliedros de igual medida.
• Tiene caras en forma de polígonos regulares iguales.

Tetraedro

• Posee 4 caras en forma de triángulos equiláteros.
• Posee 6 aristas, 4 caras, 4 vértices y 3 aristas concurrentes.
• El área lateral es la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema: p.A_p/2
• El área total se calcula sumando el área lateral más el área de la base: S₁ + S_B = 4 .A_p/2

Hexaedro o Cubo

• Posee 6 caras en forma de cuadrado.
• Único poliedro con caras cuadradas.
• Posee 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
• Su área lateral se calcula multiplicando las aristas elevadas al cuadrado por 4: A_l = 4.a²
• Área total: aristas elevadas al cuadrado por 6.

Octaedro

• Sólidos que poseen 8 caras en forma de triángulo equilátero.
• Posee 6 vértices, 12 aristas y 4 aristas concurrentes.
• Se calcula su área: A = 4.b.h
• Entre los objetos con esta forma encontramos a los diamantes.

Dodecaedro

• Poliedro que posee 12 caras en forma de pentágono regular.
• 20 vértices, 30 aristas y 3 aristas concurrentes.
• Se calcula su área: A = 6.p.a_p

Icosaedro

• 20 caras en forma de triángulo equilátero.
• Tienen 12 vértices, 30 aristas y 4 aristas concurrentes.
• A = 10.b.h

Otros Tipos de Poliedros

Antiprismas

Están limitados por dos caras iguales llamadas bases y caras laterales, que son triángulos. Los antiprismas regulares son los que tienen bases regulares y caras laterales triángulos equiláteros.

Paralelepípedo

Es el prisma cuyas bases son paralelogramos. Todos tienen 6 caras.

Ortoedro

Es el paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos.

Clasificación

• Romboedro: Paralelepípedo cuyas 6 caras son rombos.
• Hexaedro: Paralelepípedo cuyas 6 caras son cuadrados.

Niveles de Aprendizaje en Geometría

1. Reconocimiento o visualización: Los alumnos perciben las figuras como un todo global, en su conjunto, se reconocen por sus formas visibles y no se explican las propiedades determinantes de las figuras. Ejemplo: nombrar o identificar una figura.
2. Análisis: Pueden analizar los procesos o elementos y propiedades particulares de las figuras. Ejemplo: un rectángulo tiene las diagonales iguales.
3. Clasificación o deducción informal: Se usa cierto razonamiento lógico informal para deducir propiedades de las figuras. Ejemplo: determinar las figuras por sus propiedades.
4. Deducción: Realizar razonamientos lógicos formales. Utilizar las demostraciones para verificar la verdad de una afirmación.
5. Rigor: Es el aspecto formal de la deducción. Los individuos están capacitados para analizar el grado de rigor de varios sistemas deductivos.

Fases del Aprendizaje en Geometría

1. Discernimiento o información: Toma de contacto con el nuevo objeto de estudio. Propósito doble:
   1. El profesor ve cuáles son los conocimientos previos de los estudiantes.
   2. Los estudiantes ven hacia dónde avanzarán los estudios posteriores.
2. Orientación dirigida: El profesor propone una secuencia de actividades a realizar y explorar, cuya ejecución y reflexión servirán de motor para propiciar el avance en los niveles de conocimiento.
3. Explicitación: Los alumnos mostrarán una actitud permanente de diálogo y discusión en todas las actividades de las diferentes fases del aprendizaje.
4. Orientación libre: Los estudiantes aplican sus conocimientos y lenguaje de forma significativa a otras situaciones distintas de las presentadas pero con estructura comparable.
5. Integración: Los objetos y las relaciones son unificadas e interiorizadas en su sistema mental de conocimientos, adquiriendo así una visión general.