Explorando las Paradojas Famosas: Lógica, Matemáticas y Lenguaje

¿Qué es una Paradoja?

Una paradoja significa “contrario a la opinión comúnmente aceptada”. En una paradoja, todas las premisas son aceptadas, pero la conclusión debería ser falsa, a pesar de que el razonamiento lógico nos parezca impecable. Las paradojas pueden ser semánticas o lógicas. La paradoja de Russell y la paradoja del mentiroso son de tipo semántico.

Las paradojas propiciaron la aparición de nuevas teorías, como la teoría de los tipos o la distinción de distintos niveles de lenguaje.

Paradojas Famosas

Paradoja de Cantor

La paradoja de Cantor establece que, dado un conjunto, existe siempre otro de mayor cardinal: el conjunto de todos sus subconjuntos posibles (su conjunto potencia). El conjunto potencia de cualquier conjunto tendrá un cardinal mayor o igual que el conjunto de partida.

Cantor dedicó su vida a desarrollar la “aritmética de los números transfinitos”, dotando de contenido matemático al concepto de infinito actual. Demostró con rigor matemático que la noción de infinito no era indiferente: no todos los infinitos son de igual tamaño.

Galileo había ya hecho notar que si se admitieran conjuntos infinitos completos, habría tantos números enteros pares como pares e impares reunidos. Los matemáticos se resistieron a aceptar el infinito. Cantor tomó la idea citada por Galileo y la convirtió en un procedimiento de comparación de tamaño de conjuntos infinitos. Cantor definió que entre dos conjuntos podía establecerse una correspondencia biunívoca entre sus elementos para comparar sus tamaños.

Paradoja de Russell

El filósofo británico Bertrand Russell había descubierto que el concepto de conjunto contenía una paradoja: la de las clases o conjuntos que no se contienen o no pertenecen a sí mismos.

Russell propuso como solución su teoría de los tipos. Según esta teoría, todas las proposiciones deben ordenarse en una jerarquía. Es posible referirse a un conjunto de objetos para los que un determinado predicado es cierto solo si tanto el predicado como los objetos están en el mismo nivel o son del mismo tipo.

Paradojas Semánticas: La Paradoja del Mentiroso

En la Grecia antigua fue famosa la paradoja de Epiménides, el cretense. Epiménides, que es cretense, afirma: “Todos los cretenses son unos mentirosos”.

Si lo que dice Epiménides es verdadero, entonces, siendo él cretense, debe ser un mentiroso. Pero si es un mentiroso, lo que dice debe ser falso. Esto implica que los cretenses no son mentirosos, lo cual contradice su afirmación inicial. Si, por el contrario, lo que dice es falso, entonces los cretenses no son mentirosos. Pero si los cretenses no son mentirosos, y Epiménides es cretense, entonces él no es un mentiroso, lo que haría que su afirmación fuera verdadera, creando así la paradoja.

Niveles del Lenguaje

La paradoja del mentiroso y otras semejantes surgen al confundir los distintos niveles del lenguaje. El lenguaje que usamos para hablar del mundo es un primer nivel (lenguaje objeto). Cuando usamos el lenguaje para referirnos a ese primer nivel, pasa a considerarse metalenguaje.

La serie de metalenguajes es infinita, pues es posible añadir un nivel más para referirse al anterior.

Paradojas de Ambigüedad

Estas paradojas se derivan de los límites imprecisos de aplicación de ciertos términos. La clave de estas paradojas es la imprecisión del lenguaje natural, que no define adecuadamente los límites, y esta ambigüedad permite construir la paradoja.