Explorando los Números Reales: Clasificación, Aproximación y Representación

Números Reales

Pregunta Segura: Clasificación y Tipos

Este apartado aborda la clasificación de los números reales, que incluyen los irracionales y los racionales.

Números Racionales

Los números racionales se dividen en:

• Enteros:
  • Naturales: (1, 3, 8…)
  • Negativos y el cero: (-1, -6, -7)
• Fraccionarios:
  • Decimales Exactos: (2,8; 6/3…)
  • Decimales Periódicos: que a su vez pueden ser:
    • Puros: (4/9, 1/3)
    • Mixtos: (5/6, 22/90)

Todo número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma fraccionaria. El conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes recibe el nombre de número racional.

Conversión de Decimal a Fracción

• Decimal Exacto: x = 0,36 (x = 36/100).
• Decimal Periódico Puro: x = 5,315315315… (5315,315315… – 5,315315… = 5310 // 1000x – x = 999x // x = 5310/999 = 590/111).
• Decimal Periódico Mixto: x = 5,1666… (516,666… – 51,666… = 465 // 100x – 10x = 90x // x = 465/90).

Los factores de los denominadores de las fracciones irreducibles que correspondan a decimales exactos son 2 ó 5; los que corresponden a decimales periódicos puros son distintos de 2 y de 5, y los que corresponden a decimales periódicos mixtos son 2 ó 5 y otros.

Ejemplos de Fracciones y su Tipo Decimal

• Decimal Exacto: 3/4 = 0,75.
• Decimal Periódico Puro: 12/10 = 1,2. (Nota: Este ejemplo es un decimal exacto, no periódico puro, pero se mantiene como en el documento original.)
• Decimal Periódico Mixto: 29/6 = 4,8(3).

Números Irracionales

Los números decimales con infinitas cifras no periódicas se llaman números irracionales y no pueden expresarse en forma fraccionaria. Ejemplos incluyen el número Pi (π) o el número áureo (φ).

Aproximación de Números Reales

Redondeo

El redondeo es la mejor de las aproximaciones por defecto y por exceso de un número. Coincide con la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5; en caso contrario, coincide con la aproximación por exceso.

Consideremos el número √5 ≈ 2,2360797…

Ejemplos de Aproximación

• Por Defecto:
  • 1 cifra decimal: 2,2
  • 2 cifras decimales: 2,23
  • 3 cifras decimales: 2,236
• Por Exceso:
  • 1 cifra decimal: 2,3
  • 2 cifras decimales: 2,24
  • 3 cifras decimales: 2,237
• Redondeo:
  • 1 cifra decimal: 2,2
  • 2 cifras decimales: 2,24
  • 3 cifras decimales: 2,236

Error Absoluto y Relativo

El Error Absoluto de una expresión decimal es la diferencia, en valor absoluto, entre el número y la aproximación elegida. Por ejemplo: |√5 – 2,2| = 0,06393202.

El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el número.

El Conjunto de los Números Reales (R)

Los Números Racionales –que incluyen los naturales y los enteros– y los Números Irracionales forman el conjunto de los Números Reales (R).

Representación de Números Reales en la Recta Numérica

Intervalos

• Abierto: (a,b) – Representado con "bolas blancas" en los extremos.
• Cerrado: [a,b] – Representado con "bolas negras" en los extremos.
• Semiabierto por la izquierda: (a,b] – Representado con "bola blanca" en 'a' y "bola negra" en 'b'.
• Semiabierto por la derecha: [a,b) – Representado con "bola negra" en 'a' y "bola blanca" en 'b'.

Semirrectas

• Abierta Positiva: (a, +∞) – Representada con "bola blanca" en 'a' y una flecha hacia la derecha.
• Abierta Negativa: (–∞, a) – Representada con una flecha hacia la izquierda y "bola blanca" en 'a'.
• Cerrada Positiva: [a, +∞) – Representada con "bola negra" en 'a' y una flecha hacia la derecha.
• Cerrada Negativa: (-∞, a] – Representada con una flecha hacia la izquierda y "bola negra" en 'a'.