Explorando el Movimiento Armónico Simple, Ondas y Gravitación Universal

Movimiento Armónico Simple (MAS)

1. El Movimiento Armónico Simple (MAS) es un movimiento periódico que oscila alrededor de un punto de equilibrio. Se describe en función del tiempo mediante una función armónica: x = A sen(ωt + φ)

Ejemplos de MAS: masa colgada de un muelle, péndulo, vibración de una partícula cuando una onda pasa por ella.

(DIBUJO) Principales magnitudes:

• A = Elongación máxima que alcanza el objeto (m)
• x (Elongación) = Distancia a la que se encuentra el objeto respecto a la posición de equilibrio (m)
• ω (Frecuencia Angular) = Magnitud relacionada con la frecuencia de oscilación. Cuanto mayor sea, más rápido se moverá el oscilador (rad/s)
• φ (Desfase) = Ángulo de ajuste del argumento de la función armónica, determinado por las condiciones iniciales (rad)
• T = Tiempo que precisa el objeto para realizar una oscilación completa (s). Ecuación: T = 2π/ω
• f = Número de oscilaciones completas por segundo, la inversa del periodo T (Hz)

Expresiones de Velocidad (v) y Aceleración (a)

Derivando sucesivamente la ecuación de posición x = A sen(ωt + φ) con respecto al tiempo:

• Ecuación de Velocidad: v = Aω cos(ωt + φ)
• Ecuación de Aceleración: a = -Aω² sen(ωt + φ)

De estas ecuaciones deducimos:

• v_max = Aω, alcanzada en el punto de equilibrio. En los extremos de la oscilación, v = 0.
• a_max = Aω², alcanzada en los extremos de la oscilación. En el punto de equilibrio, a = 0.

Ondas

4. Una onda es una propagación de energía sin que haya desplazamiento de materia. Al propagarse, las partículas vibran en MAS, pero no acompañan el movimiento de traslación de la onda. Para un movimiento ondulatorio, se necesita una fuente que produzca una perturbación de alguna propiedad (densidad, presión, campo eléctrico o magnético) capaz de transmitirse por un medio, transmitiendo a su vez la energía asociada.

El movimiento ondulatorio puede expresarse a partir de la ecuación de onda: y(x,t) = A cos(ωt - kx + φ)

Donde:

• A = Amplitud o elongación máxima que alcanza la onda (m)
• y = Distancia a la que se encuentra el objeto respecto al centro de oscilación (m)
• x = Distancia a la que se encuentra un determinado punto del medio que sufre el movimiento ondulatorio (m)
• ω (Frecuencia angular) = Relacionada con la frecuencia de oscilación y el periodo (rad/s)
• φ = Fase inicial (rad)
• k (Número de onda) = Relacionado con la longitud de onda mediante: k = 2π/λ
• λ (Longitud de onda) = Distancia entre dos puntos idénticos consecutivos de una onda, por ejemplo, dos máximos (m)

La velocidad de propagación (v) es la velocidad a la que la onda transmite la energía por el medio. Depende de factores como la densidad del medio y la frecuencia. En este nivel, se considera que la velocidad de propagación es constante: v = ω/k = λ/T (m/s)

(DIBUJO) Algunas de estas magnitudes.

Tipos de Ondas

Según la relación entre la dirección de propagación y la dirección de oscilación, se distinguen:

• Ondas longitudinales: Las partículas del medio se mueven paralelamente a la dirección de propagación de la onda. Ejemplo: un muelle que se comprime o el sonido.
• Ondas transversales: Las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Ejemplo: una cuerda o la luz. Las ondas transversales se pueden polarizar.

Según su naturaleza:

• Ondas mecánicas: Necesitan un medio para transmitirse (sonido).
• Ondas electromagnéticas: No necesitan un medio para transmitirse y pueden propagarse en el vacío (luz).

Energía de las Ondas

6. Cuando una onda avanza, transporta energía en la dirección y sentido en que viaja. Esta energía es generada por el oscilador armónico que provoca la onda. La energía irradiada será la energía mecánica del oscilador:

E_mec = 2mπ²f²A² (donde m es la masa, f la frecuencia y A la amplitud)

Si la onda es tridimensional, esta energía se irradia en las tres direcciones, repartiéndose en superficies esféricas concéntricas cuyo centro es el foco emisor. Dado que la energía se mantiene constante en todos los frentes: E₁ = E₂

Asumiendo que los frentes de onda dependen del cuadrado de la distancia (r) y la frecuencia se mantiene constante: r₁²A₁² = r₂²A₂², por lo tanto, r₁A₁ = r₂A₂. Es decir, la amplitud decrece linealmente con la distancia.

La intensidad de una onda es la potencia que atraviesa perpendicularmente una superficie (W/m²):

I = P/S = E/(S·t)

Dado que la energía es constante y la superficie depende del cuadrado de la distancia, concluimos: I₁r₁² = I₂r₂². Es decir, la intensidad de la onda es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco.

Ondas Estacionarias

8. Las ondas estacionarias son un caso especial de interferencia, consistentes en la interferencia de dos ondas idénticas que se propagan en la misma dirección pero en sentidos contrarios. Suelen producirse en medios limitados donde al menos uno de los extremos está fijo. Ejemplo: la vibración de las cuerdas de una guitarra.

Una forma de obtener ondas estacionarias es propagar una onda por una cuerda unida a la pared. Al rebotar la onda en la pared (reflexión de la onda), esta interfiere consigo misma generando una onda estacionaria.

A partir de las expresiones de la onda incidente y reflejada (y₁, y₂), se puede deducir la expresión de la onda estacionaria:

• Onda incidente: y₁ = A cos(ωt - kx)
• Onda reflejada: y₂ = -A cos(ωt + kx)
• Onda estacionaria: y = A_r sen(ωt), donde A_r = 2A sen(2πx/λ)

La onda resultante de la interferencia (onda estacionaria) es una ecuación de MAS. Características:

• Misma longitud de onda, frecuencia y periodo que las ondas que la generan.
• Algunos puntos (nodos) no vibran.
• Algunos puntos (vientres) vibran con una amplitud doble a la de la onda original.
• La amplitud de la onda estacionaria depende exclusivamente de la localización de las partículas en el medio.
• Todos los puntos de la cuerda, excepto los nodos, mantienen un MAS sin que el perfil de la onda se desplace.
• Existen varias formas de vibración dependiendo de la frecuencia de la onda incidente.

(DIBUJO) Primeros armónicos de una onda estacionaria.

La distancia entre dos vientres consecutivos y dos nodos consecutivos corresponde a media longitud de onda. La distancia entre un vientre y un nodo consecutivos es de ¼ de la longitud de onda.

Ley de Gravitación Universal

10. La ley de gravitación universal describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos por tener masa. Expresión matemática: F_g = GmM/r²

Esta ley representa la fuerza que experimentan dos masas separadas por una distancia “r”. La fuerza gravitatoria es atractiva y dirigida hacia la masa que genera la fuerza. También son fuerzas que verifican el principio de acción y reacción, ya que ambas generan fuerzas iguales y opuestas.

(DIBUJO)

Teniendo en cuenta que la constante gravitatoria es G = 6.67 x 10^-11 Nm²/Kg², deducimos que esta interacción solo se aprecia cuando una de las dos masas es elevada.

En un punto existe un campo gravitatorio si al colocar una masa, esta experimenta una fuerza gravitatoria. La intensidad del campo gravitatorio es la fuerza que experimenta por unidad de masa: g = F_g/m. La intensidad del campo gravitatorio es un vector (m/s²). Otra expresión se puede hacer desde el punto de vista de la masa que crea el campo: g = GM/r²

La intensidad del campo gravitatorio es una perturbación que afecta a todo el espacio y que decrece con el cuadrado de la distancia.

En el caso concreto de una masa puntual, el campo gravitatorio es radial. (DIBUJO). Los vectores representan el campo gravitatorio. Este ejemplo solo es aplicable al campo gravitatorio terrestre donde g_superficie = 9.8 m/s².

Leyes de Kepler

11. Kepler, después de observaciones y análisis de datos, formuló (1609) tres leyes empíricas que rigen el movimiento de los planetas:

• 1ª Ley de las Órbitas: Los planetas giran alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos. (DIBUJO)
• 2ª Ley de las Áreas: Las áreas barridas por el vector que une el Sol con un planeta son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas. A tiempos iguales, áreas iguales. (DIBUJO) ΔA/Δt = cte.
• 3ª Ley de los Periodos: Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus respectivas órbitas. T² = cte. r³.

Para demostrarlo, consideramos que un planeta gira alrededor del Sol en una órbita circular. El planeta radialmente no se desplaza, por lo que las fuerzas son iguales: F_g = F_c, es decir, GMm/r² = mv²/r

Dado que v = 2πr/T, introduciéndola en la anterior: GMm/r² = m4π²r²/rT². Eliminando m y despejando T: T² = 4π²r³/GM, por lo tanto, T² = cte. r³. Ya que G (constante gravitatoria universal) y M (masa del elemento central) son constantes.

Queda demostrada la 3ª ley de Kepler para órbitas circulares: el cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del radio.

Superficies Equipotenciales

13. Las superficies equipotenciales son aquellas en las que todos sus puntos tienen el mismo potencial gravitatorio. Las líneas de fuerza son líneas cuyas tangentes son proporcionales a la dirección del campo gravitatorio. Ejemplo de superficies equipotenciales y líneas de fuerza producidas por una masa: (DIBUJO)

Donde las líneas rojas son las líneas de fuerza, radiales y dirigidas hacia la masa, y las líneas azules son las superficies equipotenciales, esféricas y concéntricas.

Para el caso de dos masas, habría una superposición de campos. Se representa: (DIBUJO)

Ambos términos se pueden enlazar con las siguientes propiedades:

• Las líneas del campo gravitatorio son, en cada punto, perpendiculares a las superficies equipotenciales y dirigidas hacia donde el potencial disminuye.
• El trabajo para desplazar una masa entre dos puntos de la misma superficie equipotencial es nulo.
• Dos superficies equipotenciales no se cortan.

Campos de Fuerza Conservativos y No Conservativos

14. Un campo de fuerza es la correspondencia única entre cada punto del espacio y una fuerza.

Un campo de fuerza conservativo es aquel en el que el trabajo realizado para desplazar una partícula entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida entre los dos puntos y depende únicamente de la posición inicial y final. Un campo es no conservativo si el trabajo para desplazar una partícula entre dos puntos depende de la trayectoria. (DIBUJO)

Ejemplos: campo conservativo: campo gravitatorio, campo eléctrico. Campo no conservativo: campo magnético. Las fuerzas que generan campos conservativos son fuerzas conservativas, y las que generan campos no conservativos son fuerzas no conservativas.

Otras definiciones: Un campo de fuerza es conservativo si el trabajo necesario para una trayectoria cerrada es nulo, independientemente de la trayectoria. Un campo de fuerza es conservativo si existe una función f(x), denominada potencial, cuya expresión se obtiene mediante la integral de la fuerza conservativa. Es no conservativo si no existe dicho potencial. Expresión: V_a = W_a/m = (1/m)∫_A^∞ F·dr = -GM/r_a

Para el caso del campo gravitatorio, el potencial gravitatorio en un punto A se define como el trabajo por unidad de masa que hay que realizar para desplazar una masa desde el infinito hasta dicho punto.

Si un cuerpo de masa m experimenta dicho potencial gravitatorio, tiene asociada una energía potencial gravitatoria que depende de la posición en la que se encuentre la masa. Esta energía potencial gravitatoria se obtiene multiplicando el potencial por la masa del cuerpo: E_p = V·m = -GMm/r. El trabajo necesario para llevar una partícula de un punto A a un punto B se calcula con la diferencia de energía potencial entre los puntos.

El término “conservativo” (tanto en fuerzas como en campos) se debe a que conserva la energía mecánica entre dos puntos. Se denomina principio de conservación de la energía: E_mA = E_mB, siendo E_m la suma de la energía cinética (E_c) y la energía potencial (E_p):

E_m = E_c + E_p = 1/2mv² - GMm/r

Mientras que en un campo no conservativo, la energía no se conserva, ya que la fuerza no conservativa tiene pérdidas de energía al realizar el trabajo.

La energía mecánica es constante entre dos puntos si solo actúan fuerzas conservativas.