Explorando la Geometría y el Espacio en la Educación Artística

Conceptos Fundamentales de la Geometría

La Geometría es la rama de la ciencia matemática que tiene por objeto el estudio de las propiedades de las figuras geométricas o espaciales, la medida de su extensión, sus formas y sus posiciones relativas, así como su representación.

Divisiones de la Geometría

• Geometría Pura

• Geometría Analítica

• Geometría Infinitesimal y Descriptiva

  (Nota: El término "criptiva" ha sido corregido a "descriptiva" para mayor claridad y coherencia con las ramas de la geometría.)

• Geometría No Euclídea o Antieuclídea

  Se desarrolla por deducciones lógicas, ya sea negando la veracidad del postulado de Euclides respecto a la unicidad de la paralela a una recta desde un punto, o bien negándolo por completo, o, finalmente, no haciendo uso del mismo sin discutirlo.

Principios y Relaciones Fundamentales en Geometría

Las relaciones geométricas se clasifican en:

1. Relaciones de Enlace o Incidencia

   Del tipo: “estar en”, “pasar por”, “unir”, “cortar”, etc. Ejemplo: Por dos rectas secantes pasa un plano y solo uno.

2. Relaciones de Ordenación

   Del tipo: “estar entre”, “separar”, “preceder”, “seguir”, etc. Ejemplo: Una diagonal de un cuadrilátero convexo lo divide (separa) en dos triángulos.

3. Relaciones de Igualdad o Congruencia

   Ejemplos: Las relaciones de perpendicularidad (igualdad de ángulos adyacentes); los criterios de igualdad de triángulos.

Axiomas Fundamentales de la Geometría

Estos axiomas establecen las bases para la construcción del espacio geométrico:

• Axioma I, 1

  Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados “puntos”, cuyo conjunto llamaremos “espacio”.

• Axioma I, 2

  Los puntos del espacio se consideran agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “planos”, y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados “rectas”. Al calificar los planos y las rectas como conjuntos parciales, significamos: Fuera de cada recta de un plano hay otros puntos del mismo. Fuera de cada plano hay otros puntos del espacio.

• Axioma I, 3

  Por dos puntos distintos pasa una recta y solo una. Dos puntos A y B determinan una recta que los contiene. La llamaremos “recta AB”.

• Axioma I, 4

  Por tres puntos no alineados pasa un plano y solo uno. De otro modo: Tres puntos no alineados “determinan” un plano que los contiene.

• Axioma I, 5

  Si dos puntos de una recta están en un plano, todos los demás puntos de la recta lo están también.

El Microespacio: Percepción y Manipulación

El Microespacio corresponde a un sector del espacio próximo al sujeto que contiene objetos accesibles tanto a la visión como a la manipulación. En este sector, el sujeto puede mover el objeto o bien moverse a sí mismo prácticamente en cualquier dirección. El juego de desplazamientos de sujeto y objeto permite restablecer cualquier perspectiva, mediante inversiones o compensaciones de las transformaciones anteriores. Puesto que todas las posiciones relativas entre sujeto y objeto son igualmente posibles y fáciles de obtener, la percepción del objeto puede ser caracterizada como exhaustiva. Por otra parte, el sujeto obtiene una información abundante e inmediata de los resultados de las acciones que ejerce sobre el objeto. El sujeto controla plenamente sus relaciones espaciales con el objeto, debido a la abundancia de recursos de transformación con que cuenta.

En el microespacio, el dominio de las relaciones con el objeto se adquiere a través de un proceso largo y difícil, pero bastante temprano (según los trabajos de Piaget). Este proceso se realiza “espontáneamente”, en el sentido de que no requiere intervención intencional (institucional) para producirse, aunque sí requiere oportunidades para ejercitar las manipulaciones de las que el sujeto va siendo capaz. Posteriormente, el trabajo escolar impone cierta reestructuración del microespacio al introducir dos direcciones ortogonales para orientar el papel (y otros materiales) sobre el pupitre.